§ 3. Нерівності.

Нагадаємо деякі відомості про нерівності.

Дві нерівності A>B i C>D називаються нерівностями однакового змісту. Дві нерівності A>B i C<D є нерівностями протилежного змісту. Нерівності A>B i C>D називаються строгими, а нерівності A B i C D – нестрогими.

Деякі корисні нерівності.

1.

2.

3. Якщо то Рівняння має місце тільки при

4. Якщо тобто середнє геометричне двох додатних чисел не більше за їх середнє арифметичне. Рівність має місце тільки у випадку

Як і у випадку рівнянь з модулями після їх розкриття зводиться до раціональних нерівностей.

Розкриття модуля в нерівностях.

Модулі в нерівностях можна розкривати користуючись означенням абсолютної величини виразу:

І. Нерівності загального виду.

Приклад 1.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Відмітивши на числовій осі ті значення х, при яких вирази під знаками модуля перетворюються на нуль, одержуємо три інтервали, на кожному з яких ці вирази знакосталі:

1) 2) 3)

Враховуючи, що на кожному з цих інтервалів вирази під модулем не змінюють знак, складемо і развяжемо сукупність трьох систем нерівностей, розкривши модулі за означенням на кожному з інтервалів.

1)

2)

3)

Таким чином, маємо сукупність трьох нерівностей:

Розв’язавши графічно, знайдемо об’єднання розв’язків усіх трьох нерівностей.

Відповідь: х

Приклад 2.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Нерівності з великою кількістю лінійних виразів під знаками модулів зручно розв’язувати графічно, оскільки у цьому разі розкриття модулів за означенням технічно ускладнює розв’язання задачі.

Обчислимо значення лівої частини нерівності в тих точках, де вирази під знаками модулів дорівнюють нулю.

x		-2	-1	0	1	2
y	Y=-x	2	3	2	3	2	Y=x

Графіком лівої частини буде неперервна ламана лінія, яку легко побудувати за виразами тільки на двох проміжках і за значеннями в точках х=-2, -1, 0, 1, 2.

Відповідь:

ІІ. Нерівності виду або .

При розв’язуванні таких нерівностей із знаком модуля можна користуватися наступними властивостями абсолютної величини:

1. Нерівність рівносильна подвійній нерівності , або, що те ж саме, системі нерівностей:

2. Нерівність рівносильна сукупності двох нерівностей:

У разі нестрогої нерівності усі знаки нерівностей доповнюються знаком рівності.

Приклад 3.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Дана нерівність за властивістю (2) рівносильна сукупності двох нерівностей:

Відповідь: .

Приклад 4 .

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Задана нерівність з модулем рівносильна системі нерівностей:

Розв’язком є перетин проміжків

Відповідь:

ІІІ. Нерівності виду

Такі нерівності зводяться до системи раціональних нерівностей.

У нерівності виду вираз g(x) більший за невід’ємну величину , тому він повинен набувати лише додатних значень, а нерівність даного виду рівносильна системі нерівностей:

Приклад 5.

Розв’язати нерівність:

Розв’язання

Права частина нерівності може набувати тільки додатних значень, тому маємо систему нерівностей:

Друга нерівність виконується при всіх х R, бо дискримінант: від’ємний.

Графічно знаходимо множини розв’язків системи нерівностей.

Відповідь: (0;6).