
- •Для экономистов
- •Часть III
- •Лукинова с. Г.
- •Для экономистов
- •Часть III
- •Содержание.
- •Интегральное исчисление
- •Дифференциальные уравнения
- •Приложения в экономике
- •1. Программа, цели и задачи дисциплины, сфера профессионального использования
- •2 Теоретическая часть
- •2.1 Интегральное исчисление
- •2.1.1 Неопределённый интеграл, его свойства
- •Интегралы от основных элементарных функций (Таблица интегралов)
- •2.1.2 Методы интегрирования
- •2.1.3 Определённый интеграл, его свойства
- •2.1.4 Теорема Ньютона-Лейбница
- •Интегрирование по частям
- •2.1.5 Геометрические приложения определённого интеграла Вычисления площадей плоских фигур
- •2.1.6 Несобственные интегралы
- •Пример 13 Исследовать на сходимость интегралы:
- •Пример 14
- •2.1.7 Понятие двойного интеграла
- •2.2 Дифференциальные уравнения
- •2.2.1 Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.
- •2.2.2 Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения
- •Уравнением Бернулли
- •2.2.3 Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •2.2.5 Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •2.2.6 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. . Метод Лагранжа
- •2.2.7 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
- •2.3 Ряды
- •Числовые ряды. Основные понятия. Необходимый признак сходимости ряда
- •Свойства сходящихся числовых рядов
- •2.3.2 Достаточные признаки сходимости рядов
- •2.3.3 Знакопеременные ряды. Признак Лейбница
- •Пример 37 Исследовать ряд на сходимость.
- •2.3.4 Функциональные ряды. Степенные ряды
- •Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора, Маклорена
- •Применение рядов в приближенных вычислениях
- •2.4 Приложения в экономике
- •2.4.1 Приложения интегрального исчисления в экономике
- •2.4.2 Приложения дифференциальных уравнений в экономике.
- •Это дифференциальное уравнение – с разделяющимися переменными. Решим его:
- •3. Руководство к изучению разделов Тема: Неопределенный интеграл
- •Тема: Определенный Интеграл
- •Тема: Дифференциальные уравнения
- •Тема: Ряды
- •4. Вопросы и задания для самооценки
- •Понятие двойного интеграла.
- •6. Вопросы к экзамену
- •Неопределённый интеграл, его свойства
- •Теорема Ньютона-Лейбница
- •Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
- •Применение рядов в приближенных вычислениях
- •7 Конспект-схемы
- •Разложение многочлена на линейные и квадратные множители
- •(Таблица интегралов)
- •Кс 4. Интегрирование тригонометрических выражений.
- •1) При вычислении
- •2) При вычислении ,
- •4) При вычислении
- •Приложение а Контрольная работа №3 «Интегральное исчисление. Применение в экономике.»
- •Задачи 141 – 160 Исследовать на сходимость числовой ряд:
- •Варианты контрольных работ
- •Приложение с Алфавитно-предметный указатель (ключевые слова)
- •Литература
Линейные дифференциальные уравнения
Уравнение
,
где
,
- непрерывная функция от
на интервале
,
называется линейным
дифференциальным уравнением первого
порядка.
Неизвестная функция
и её производная входят в это уравнение
в первой степени – линейно.
Линейные уравнения обычно решают методом Бернулли.
Представим искомую
функцию в виде произведения двух
неизвестных функций
и
.
Пусть
,
тогда
или
,
и уравнение примет вид
или
.
Полученное уравнение разобьём на два таким образом:
Выберем функцию так, чтобы сумма второго и третьего слагаемых обратилась в нуль:
;
.
Решаем первое: так
как
,
относительно
имеем уравнение
с разделяющимися переменными:
или
Функцию
подставим во второе уравнение:
,
откуда
.
.
Найдём общее решение по формуле
,
подставив найденные
функции вместо
,
.
Пример 20 Решить
уравнение
.
Решение:
Положим , .
Подставляя выражения
для
и
в данное уравнение получим:
1)
2)
.
Решаем первое уравнение:
После разделения
переменных получим
.
Отсюда
или
.
Решаем второе уравнение:
Подставим найденное значение , получим:
.
Отсюда, разделяя переменные и интегрируя, находим функцию :
.
Теперь можно записать общее решение данного дифференциального уравнения:
или
.
Уравнением Бернулли
называется уравнение вида
,
где
– любое вещественное число.
Если равно нулю или единице, то мы получим линейное дифференциальное уравнение.
Уравнение Бернулли
можно сразу решать методом Бернулли,
полагая
.
Следует отметить, что при
функция
является решением Бернулли.
Пример 21 Решить
уравнение
.
Решение:
Приведём решение методом Бернулли.
Полагая
;
;
получим
1)
;
;
;
.
2) Подставим найденную функцию :
;
;
;
;
;
и окончательно
.
2.2.3 Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
Уравнение вида
решается последовательным двукратным интегрированием правой части.
Пример 22 Решить уравнения:
а)
;
б)
.
Решение:
а) Последовательно интегрируя получим:
;
;
;
.
б)
;
.
Уравнение вида
не содержит явным образом искомой функции .
Решается заменой
,
тогда:
.
Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка
относительно
неизвестной функции
от
.
Проинтегрировав это уравнение, найдём
его общее решение:
,
а затем из соотношения получим общий интеграл исходного уравнения:
.
Пример 23 Решить
уравнение
.
Решение:
Положим
,
тогда
и мы получаем дифференциальное уравнение
первого порядка относительно
вспомогательной функции
от
:
.
Разделим уравнение
на
,
получим
линейное
дифференциальное уравнение первого
порядка. Подставим функцию
в виде
,
тогда
.
Подставляя их в уравнение получим:
.
Далее
.
1)
;
;
;
.
2)
или
,
или
;
.
Уравнение вида
,
не содержит явным образом переменную ,
решается заменой
,
тогда
.
Пример 24 Решить
уравнение
.
Решение:
В уравнение не
входит
.
Полагая
,
тогда
.
Подставляя в уравнение, получим:
или
,
откуда
;
;
интегрируя, получим
;
;
так как , то
;
.
Итак, общее решение:
.