4. Линейные дифференциальные уравнения

Уравнение ,

где , - непрерывная функция от на интервале , называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Неизвестная функция и её производная входят в это уравнение в первой степени – линейно.

Линейные уравнения обычно решают методом Бернулли.

Представим искомую функцию в виде произведения двух неизвестных функций и .

Пусть , тогда или ,

и уравнение примет вид

или .

Полученное уравнение разобьём на два таким образом:

1. Выберем функцию так, чтобы сумма второго и третьего слагаемых обратилась в нуль:

;

2. .

Решаем первое: так как , относительно имеем уравнение с разделяющимися переменными:

или

Функцию подставим во второе уравнение:

, откуда .

.

Найдём общее решение по формуле

,

подставив найденные функции вместо , .

Пример 20 Решить уравнение .

Решение:

Положим , .

Подставляя выражения для и в данное уравнение получим:

1)

2) .

Решаем первое уравнение:

После разделения переменных получим . Отсюда или .

Решаем второе уравнение:

Подставим найденное значение , получим:

.

Отсюда, разделяя переменные и интегрируя, находим функцию :

.

Теперь можно записать общее решение данного дифференциального уравнения:

или

.

5. Уравнением Бернулли

называется уравнение вида

,

где – любое вещественное число.

Если равно нулю или единице, то мы получим линейное дифференциальное уравнение.

Уравнение Бернулли можно сразу решать методом Бернулли, полагая . Следует отметить, что при функция является решением Бернулли.

Пример 21 Решить уравнение .

Решение:

Приведём решение методом Бернулли.

Полагая

;

;

получим

1) ; ; ; .

2) Подставим найденную функцию :

; ; ; ; ;

и окончательно .

2.2.3 Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

• Уравнение вида

решается последовательным двукратным интегрированием правой части.

Пример 22 Решить уравнения:

а) ; б) .

Решение:

а) Последовательно интегрируя получим:

; ; ;

_.

б) ; .

• Уравнение вида

не содержит явным образом искомой функции .

Решается заменой ,

тогда: .

Подставляя эти выражения производных в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка

относительно неизвестной функции от . Проинтегрировав это уравнение, найдём его общее решение:

,

а затем из соотношения получим общий интеграл исходного уравнения:

.

Пример 23 Решить уравнение .

Решение:

Положим , тогда и мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции от :

.

Разделим уравнение на , получим

линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Подставим функцию в виде , тогда

.

Подставляя их в уравнение получим:

.

Далее .

1) ; ; ; .

2) или ,

или ;

.

• Уравнение вида

,

не содержит явным образом переменную ,

решается заменой , тогда .

Пример 24 Решить уравнение .

Решение:

В уравнение не входит . Полагая , тогда

.

Подставляя в уравнение, получим:

или ,

откуда

; ;

интегрируя, получим

; ;

так как , то

; .

Итак, общее решение:

.