2.1.6 Несобственные интегралы

При введении понятия определённого интеграла мы предполагали, что подынтегральная функция является ограниченной, а пределы интегрирования – конечными. Такой интеграл называется собственным (слово «собственный» обычно опускается). Если хотя бы одно из этих двух условий не выполнено, то интеграл называется несобственным.

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция f(x) непрерывна при < , т.е. при Тогда по определению полагают

Если этот предел существует, то говорят, что интеграл

сходится, а если предел не существует, то интеграл называют расходящимся.

Геометрически для неотрицательной при функции f(x) несобственный интеграл по аналогии с собственным интегралом представляет собой площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции y=f(x), слева отрезком прямой x=a и снизу осью Ox.

Пример 13 Исследовать на сходимость интегралы:

а) т.е. данный несобственный интеграл сходится.

б) т.е. данный интеграл расходится.

в) Установим, при каких значениях интеграл сходится.

Случай был рассмотрен в примере б). Если то

.

Значит, данный интеграл сходится при >1 и расходится при

Аналогично определяются следующие несобственные интегралы

Интегралы от неограниченных функций

Пусть функция f(x) непрерывна при <b. Пусть эта функция стремится к бесконечности, когда (т.е. на отрезке функция f(x) не ограничена). Положим

Если этот предел существует, то говорят, что интеграл

сходится, а если предел не существует, то интеграл называют расходящимся.

Подобным же образом равенство

даёт определение интеграла от функции f(x), стремящейся к бесконечности при

Наконец, если функция f(x) стремится к бесконечности при приближении аргумента к обоим концам промежутка , то полагают

a<c<b.

Если при этом сходятся оба интеграла в правой части последнего равенства, то сходится и интеграл слева.

Пример 14

, т.е. расходится.

2.1.7 Понятие двойного интеграла

Рассмотрим функцию двух переменных z=f(x,y) или z=f(M), определённую и непрерывную в замкнутой ограниченной области D плоскости Oxy; .

Разобьем область D произвольным образом на элементарные участки , площади которых также обозначим , а диаметры обозначим d. Выберем произвольно точку .

Интегральной суммой для функции по области называется:

.

Если существует предел последовательности интегральных сумм при , то он называется двойным интегралом от функции f(M) по области D, обозначают:

Замечание:

Предел не зависит ни от способа разбиения области на элементарные участки , ни от выбора точек .

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом.

Для непрерывной функции двойной интеграл по области равен повторному интегралу:

(1)

или

(2)

Повторные интегралы (1) и (2) отличаются друг от друга порядком интегрирования по переменным и . Применение формулы (1) или (2) зависит от конфигурации области . Формула (1) применяется в тех случаях, когда область ограничена снизу и сверху соответственно кривыми и , а слева и справа прямыми , причем всюду на функции и непрерывны и . Примеры таких областей приведены на рисунке.

Формулу (2) применяют в тех случаях, когда область ограничена слева и справа соответственно кривыми и . Снизу и сверху - прямыми . Причем всюду на функции непрерывны . На рисунке изображены примеры таких областей.

Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов по формулам (1) или (2). При применении формулы (1) сначала вычисляют внутренний интеграл при постоянном , полученная функция от интегрируется в пределах от до .

Если применяют формулу (2), то сначала вычисляют внутренний интеграл при постоянном ; затем полученная функция от интегрируется на отрезке .

Покажем, как вычисляется двойной интеграл в декартовой системе координат.

Пример 15 Вычислить где область ограничена линиями .

Решение:

Построим область : уравнение является уравнением параболы, симметричной относительно оси , с вершиной в начале координат. Уравнение есть уравнение прямой.

Найдем координаты точек пересечения параболы и прямой, для этого решим систему уравнений:

Решая второе уравнение, найдем - ординаты точек пересечения параболы и прямой. Таким образом, область ограничена слева параболой: , справа прямой , снизу н сверху соответственно прямыми и . Применяя формулу (2), запишем исходный двойной интеграл в виде

,

Вычисляя сначала внутренний интеграл по dx , затем внешний, получим: