
- •Для экономистов
- •Часть III
- •Лукинова с. Г.
- •Для экономистов
- •Часть III
- •Содержание.
- •Интегральное исчисление
- •Дифференциальные уравнения
- •Приложения в экономике
- •1. Программа, цели и задачи дисциплины, сфера профессионального использования
- •2 Теоретическая часть
- •2.1 Интегральное исчисление
- •2.1.1 Неопределённый интеграл, его свойства
- •Интегралы от основных элементарных функций (Таблица интегралов)
- •2.1.2 Методы интегрирования
- •2.1.3 Определённый интеграл, его свойства
- •2.1.4 Теорема Ньютона-Лейбница
- •Интегрирование по частям
- •2.1.5 Геометрические приложения определённого интеграла Вычисления площадей плоских фигур
- •2.1.6 Несобственные интегралы
- •Пример 13 Исследовать на сходимость интегралы:
- •Пример 14
- •2.1.7 Понятие двойного интеграла
- •2.2 Дифференциальные уравнения
- •2.2.1 Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.
- •2.2.2 Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения
- •Уравнением Бернулли
- •2.2.3 Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •2.2.5 Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •2.2.6 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. . Метод Лагранжа
- •2.2.7 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
- •2.3 Ряды
- •Числовые ряды. Основные понятия. Необходимый признак сходимости ряда
- •Свойства сходящихся числовых рядов
- •2.3.2 Достаточные признаки сходимости рядов
- •2.3.3 Знакопеременные ряды. Признак Лейбница
- •Пример 37 Исследовать ряд на сходимость.
- •2.3.4 Функциональные ряды. Степенные ряды
- •Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора, Маклорена
- •Применение рядов в приближенных вычислениях
- •2.4 Приложения в экономике
- •2.4.1 Приложения интегрального исчисления в экономике
- •2.4.2 Приложения дифференциальных уравнений в экономике.
- •Это дифференциальное уравнение – с разделяющимися переменными. Решим его:
- •3. Руководство к изучению разделов Тема: Неопределенный интеграл
- •Тема: Определенный Интеграл
- •Тема: Дифференциальные уравнения
- •Тема: Ряды
- •4. Вопросы и задания для самооценки
- •Понятие двойного интеграла.
- •6. Вопросы к экзамену
- •Неопределённый интеграл, его свойства
- •Теорема Ньютона-Лейбница
- •Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
- •Применение рядов в приближенных вычислениях
- •7 Конспект-схемы
- •Разложение многочлена на линейные и квадратные множители
- •(Таблица интегралов)
- •Кс 4. Интегрирование тригонометрических выражений.
- •1) При вычислении
- •2) При вычислении ,
- •4) При вычислении
- •Приложение а Контрольная работа №3 «Интегральное исчисление. Применение в экономике.»
- •Задачи 141 – 160 Исследовать на сходимость числовой ряд:
- •Варианты контрольных работ
- •Приложение с Алфавитно-предметный указатель (ключевые слова)
- •Литература
2.1.3 Определённый интеграл, его свойства
Пусть на отрезке
задана функция y=f(x).
Разобьем отрезок
на n
элементарных отрезков точками
.
На каждом отрезке
разбиения выберем некоторую точку
и положим
,
где
.
Сумму вида
будем называть
интегральной
суммой
для функции y=f(x)
на
.
Очевидно, что интегральная сумма зависит
как от способа разбиения отрезка
точками
,
так и от выбора точек
на каждом из отрезков разбиения
,
.
Если существует
предел
,
не зависящий от способа разбиения
отрезка
и выбора точек
,
то этот предел будем называть определённым
интегралом
функции f(x)
на отрезке
и обозначать
символом
т.е.
Функция f(x)
в этом случае называется интегрируемой
на отрезке
.
При этом f(x)
называется подынтегральной
функцией, f(x)dx
– подынтегральным
выражением, а
числа a
и b
– пределами
интегрирования (a
– нижний предел, b
– верхний предел), а сумма
– интегральной
суммой.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
Свойства определённого интеграла
1.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:
3. Определённый интеграл от суммы двух функций равен сумме определённых интегралов от этих функций:
4. При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный:
5. Интеграл по отрезку равен сумме интегралов по его частям:
где
a<c<b.
6. Теорема об оценке интеграла
Если
для
,
тогда значения интеграла от этой функции
не менее произведения m
на длину отрезка и не более произведения
M
на длину отрезка.
7. Теорема о среднем значении
Если f(x)
непрерывна на отрезке
,
то существует такое значение
,
что f(x0)=fср
– среднее значение f
на отрезке.
2.1.4 Теорема Ньютона-Лейбница
Если функция f(x) непрерывна на отрезке и F(x) – первообразная функции f(x) на этом отрезке, то
Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
При вычислении интегралов ее часто записывают в виде
Например,
=
Замена переменной в определённом интеграле
Предположим, что
функция f(x)
непрерывна на отрезке
,
функция
имеет на отрезке
непрерывную производную, при этом
и
Тогда
Пример 9. Найдём
Решение:
Воспользуемся
подстановкой x=sint;
тогда
.
Найдём новые пределы интегрирования:
если х=0,
то t=0,
если х=1,
то
.
Получим
.
Интегрирование по частям
Пусть u=u(x), v=v(x) – непрерывно дифференцируемые на функции. Тогда справедлива формула
или
Пример 10. Найти
Решение: Положим
u=x,
откуда
Согласно формуле находим
2.1.5 Геометрические приложения определённого интеграла Вычисления площадей плоских фигур
Пусть функция f(x)
непрерывна на отрезке
.
Если при этом f(x)
на этом отрезке, то площадь S
криволинейной трапеции, ограниченной
линиями y=f(x),
y=0, x=a, x=b,
выразится с помощью интеграла:
Замечания:
1. Если же
на
,
то – f(х)
на этом отрезке. Поэтому площадь S
соответствующей криволинейной трапеции
находится по формуле
или
Наконец, если линия y=f(x) пересекает ось Ох, то отрезок надо разбить на части, в пределах которых f(x) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул, которая ей соответствует.
2. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции y2=f2(x), снизу – графиком функции y1=f1(x), слева и справа прямыми x=a, x=b, вычисляется по формуле:
3. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной справа графиком функции x2=2(y), слева – графиком функции x1=1(y), снизу и сверху прямыми y=c, y=d, вычисляется по формуле:
Пример
11. Найти
площадь плоской фигуры, ограниченной
графиком функции y
=
sinx
и осью абсцисс при условии
.
Решение:
Разобьём отрезок
на два отрезка:
и
.
На первом из них sinx
,
на втором sinx
.
Тогда, используя формулы, находим искомую
площадь:
Вычисление объёмов
Если тело образовано
вращением вокруг оси Ох криволинейной
трапеции, ограниченной непрерывной
кривой y=f(x)
(
),
осью Ох и
прямыми x=a,
x=b
(a<b),
то
или
Вокруг Оу:
П
ример
12 Найти
объем тела, полученного вращением y=tgx
вокруг оси Ox,
.
Решение:
.