2 Теоретическая часть

2.1 Интегральное исчисление

2.1.1 Неопределённый интеграл, его свойства

Первообразная функция и неопределённый интеграл

Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x) на данном промежутке, если на этом промежутке

.

Например, функция F(x)=x³ является первообразной функции f(x)=3x² на всей числовой оси, так как (x³)^/=3x² при любом x. Отметим, что вместе с функцией F(x)=x³ первообразной для f(x)=3x² является любая функция вида Ф(х)=х³+С, где С – произвольное постоянное число.

Лемма о первообразных

Если F₁(x) и F₂(x) – две первообразные для функции f(x) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.

Из этой теоремы следует, что если известна какая-нибудь первообразная F(x) данной функции f(x), то всё множество первообразных для f(x) можно записать в виде F(x)+C.

Выражение F(x)+C, где F(x) – первообразная функции f(x) и С – произвольная постоянная, называется неопределённым интегралом от функции f(x) и обозначается символом , причём f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением,

х – переменной интегрирования; – знак неопределённого интеграла.

Таким образом, по определению

если .

Возникает вопрос: для всякой ли функции f(x) существует первообразная, а значит, и неопределённый интеграл?

Свойства неопределённого интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого

или

где С – произвольное число

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

где k – некоторое число.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций

Интегралы от основных элементарных функций (Таблица интегралов)

1. 

2. .

3. , в общем случае

4. , в частности

5. 9)

6. 10)

7. 11)

8. 12)

2.1.2 Методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования связан с приведением подынтегрального выражения к табличной форме путём преобразований и применения свойств неопределённого интеграла.

Пример 1. Найти интеграл

Решение:

.

Пример 2. Найти интеграл

Решение:

Замена переменной интегрирования

Если , где - функция, имеющая непрерывную производную, тогда ; подставляя в интеграл, получим

Пример 3. Найти интеграл

Решение:

Воспользуемся подстановкой x=t². Тогда , получим

Интегрирование по частям

Пусть u=u(x) и v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула

.

Пример 4. Найти интеграл

Решение:

Пусть u=x du=dx,

; Используя формулу интегрирования по частям, получим

Интегрирование простейших рациональных дробей

Многочленом степени n называется выражение вида , где – действительные числа . Например, 5–7x – многочлен первой степени ,

=2x³ – 3x² +8x – 1 – многочлен третьей степени.

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов. Например, – рациональные дроби. Всякая рациональная дробь имеет вид:

где – многочлены степени m и n соответственно.

, если

Простейшими рациональными дробями являются следующие четыре типа дробей:

I) ; II) III) ; IV)

Очевидно, что интегралы от простейших дробей первого и второго типов находятся легко:

,

где k – целое, .

От дробей третьего и четвёртого типов вычисляют заменой , или по следующим формулам:

Разложение многочленов на множители

Для любых многочленов имеет место теорема Безу:

, где z₀  простой корень

, где z₀  корень кратности k.

Если z  корень комплексный: , где i=

и , то , где – сопряженный корень.

Любой многочлен можно разложить на линейные и квадратичные множители

– действительные корни;  комплексные корни

Правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей, если знаменатель дроби представлен в виде сомножителей :

Пример 5. Разложить на сумму простейших дробей следующие дроби:

а) ;

б) .

Решение:

а)

б)

Пример 6. Вычислить интеграл:

Решение:

Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби

приравнивая числители дробей, получаем:

Определим коэффициенты А и В, придавая любые значения переменной x:

Получаем А=1 и В=1. Исходный интеграл найдём как сумму интегралов от полученных дробей.

Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы вида . Такие интегралы могут быть сведены к интегралам от рациональных функций заменой переменной , где

Такая замена называется универсальной тригонометрическая подстановкой.

В этом случае,

Тогда

.

Пример 7. Найти

Решение:

Положим . Тогда, используя выражения через t для dx и sinx, указанные выше, получаем, что искомый интеграл равен

При вычислении интегралов вида

рассмотрим частные случаи:

n – нечётное

n, m – чётные, .

применяют формулы тригонометрии:

При вычислении интегралов вида делают замену , тогда

Если интеграл имеет вид

,

где n, m – чётные, применяют формулу:

Пример 8. Вычислить интегралы:

а)

б)

Решение:

а)

б)

При вычислении

используют формулы

Интегрирование иррациональных выражений

При вычислении интегралов, содержащих иррациональные выражения применяют замену переменной.

Если ,

то , где

Если

то , где