3. Руководство к изучению разделов Тема: Неопределенный интеграл

Цель изучения данной темы: решение задачи, обратной

дифференцированию – нахождение самой функции по ее производной

или дифференциалу.

Данная тема включает в себя:

• Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла.

• Свойства неопределенного интеграла.

• Методы интегрирования:

  • замены переменных,

  • по частям.

• Интегрирование некоторых классов функций:

  • простейших рациональных дробей,

  • тригонометрических функций,

  • некоторых видов иррацональностей.

Изучив данную тему, студент должен знать и уметь применять:

• интегралы от основных элементарных функций (таблицу интегралов);

• основные свойства неопределенного интеграла;

• основные методы интегрирования;

• разложение правильной рациональной дроби на простейшие;

• интегрирование рациональных дробей и простейших тригонометрических выражений;

• интегрирование некоторых видов иррациональностей;

а также приобрести навыки комбинирования этих методов и свойств для нахождения более сложных интегралов.

При изучении данной темы студенту необходимо:

читать п. 2.1.1–2.1.2 данного пособия, решить задачи своего варианта №1–40 контрольной работы №3.

Тема: Определенный Интеграл

Данная тема включает в себя:

• Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл.

• Свойства определенного интеграла.

• Понятие интеграла с переменным верхним пределом и получение основной формулы интегрального исчисления.

• Основные методы интегрирования для определенного интеграла.

• Геометрические приложения определенного интеграла – вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения.

• Понятие несобственных интегралов первого и второго рода.

Изучив данную тему, студент должен знать:

• понятие определенного интеграла и интегральной суммы;

• геометрический и экономический смысл определенного интеграла;

• необходимое и достаточные условия интегрируемости функции на сегменте;

• свойства определенного интеграла;

• теорему о среднем;

• понятие интеграла с переменным верхним пределом;

• формулу Ньютона-Лейбница;

• замену переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле;

• геометрические приложения определенного интеграла;

• понятие несобственных интегралов 1-го и 2-го родов, их сходимости и расходимости.

Студент должен уметь:

• вычислять определенные интегралы, применяя свойства и методы интегрирования;

• вычислять площади плоских фигур;

• вычислять объемы тел вращения;

• вычислять несобственные интегралы.

Студент должен приобрести навыки использования интегралов в экономических задачах.

При изучении данной темы студенту необходимо:

читать п. 2.1.3–2.1.6 и раздел 2.4 данного пособия, решить задачи своего варианта №41–100 контрольной работы №3.

Тема: Дифференциальные уравнения

Цель изучения данной темы – использование математического аппарата дифференциальных уравнений для решения экономических задач, изучение моделей экономического роста.

Данная тема включает в себя:

• Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Частное, общее и особое решения дифференциального уравнения.

• Основные типы уравнений первого порядка , интегрируемых в квадратурах: уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, в полных дифференциалах, уравнение Бернулли.

• Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.

• Линейные дифференциальные уравнения второго порядка: однородные и неоднородные. Структура общего решения.

• Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

• Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Уравнения со специальной частью специального вида.

Изучив данную тему студент должен знать:

• Определение дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.

• Определение задачи Коши, формулировку теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

• Методы решений основных типов дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах.

• Определение дифференциального уравнения второго порядка. Определение задачи Коши, формулировку теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

• Три типа уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка.

• Линейные свойства решений и теорему об общем решении однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

• Характеристическое уравнение и вид общего решения однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

• Теорему об общем решении неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка.

• Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

• Метод неопределенных коэффициентов нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Студент должен уметь:

• Приводить примеры дифференциальных уравнений, используемых в простейших экономических моделях.

• Находить общее решение ( или общий интеграл) для простейших ДУ первого порядка, а также решать задачу Коши и строить интегральные кривые.

• Находить области, в которых можно применить теорему существования и единственности решения задачи Коши.

• Понижать порядок ДУ с помощью замены искомой функции.

• Составлять и решать характеристические уравнения, находить общее и частное решения для линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами.

• Применять метод Лагранжа вариации произвольных постоянных для нахождения общего решения линейного неоднородного ДУ с постоянными коэффициентами.

• Применять метод неопределенных коэффициентов для решения задачи Коши линейного неоднородного ДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

При изучении данной темы студенту необходимо:

читать разделы 2.2; 2.4 данного пособия, решить задачи своего варианта №101–140, 201–220 контрольной работы №7.