5. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора, Маклорена

Пусть дана функция , которую требуется разложить в степенной ряд, т. е. представить в виде

Задача состоит в определении коэффициентов ряда. Для этого продифференцируем равенство, получим:

Полагая в этих равенствах , найдем

Тогда

Подставляя значения найденных коэффициентов в равенства, получим

или

Это разложение функции в ряд называется рядом Маклорена, это разложение функции называют разложением по степеням .

Рядом Тейлора называю ряд вида:

или

называют разложением по степеням .

Пример 45 Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение:

Найдем производные , поэтому при имеем Подставляя эти значения в формулу получим искомое разложение

Этот ряд сходится на всей числовой прямой .

Пример 46 Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение:

Так как производная четвертого порядка совпадает с функцией, то производные следующих порядков повторяются в той же последовательности. Найдем значения функции и ее производных при :

Поэтому ряд Маклорена для функции имеет вид

Пример 47 Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение:

Аналогично, получим

5. Применение рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения:

функций, определенных интегралов.

Находятся приближенные решения дифференциальных уравнений.

Пример 48 Вычислить приближенно , с точностью 0,01.

Решение:

Используем ряд Маклорена для функции

,

подставим , получим

,

или

получили знакочередующийся ряд, из теоремы Лейбница следует, что погрешность , не превышает первого из отброшенных членов (по абсолютной величине). Так как пятый член ряда меньше заданной точности

,

то сумма ряда равна

.

Пример 49 Вычислить интеграл , с точностью 0,1.

Решение:

Используем ряд Маклорена для функции

,

подставим , получим

вычислим интеграл

Так как четвёртый член ряда меньше заданной точности , то данный интеграл равен

2.4 Приложения в экономике

2.4.1 Приложения интегрального исчисления в экономике

• Объем выпускаемой продукции, произведенной за время T.

Пусть функция y=f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени t. Найдем объем продукции u, произведенной за промежуток времени [0,T].

Отметим, что если производительность не изменяется с течением времени (f(t) – постоянная функция), то объем продукции , произведенной за некоторый промежуток времени , задается формулой .

Построим интегральную сумму. Разобьем отрезок [0,T] на промежутки времени точками: . Для величины объема продукции , произведенной за промежуток времени , имеем:

, где

.

Тогда .

Перейдя к пределу при , найдем объем произведенной продукции

.

По определению определенного интеграла

,

таким образом

.

Итак, если f(t) – производительность труда в момент t, то есть объем выпускаемой продукции за промежуток [0,T].

• Объем выпускаемой продукции за T лет.

Если в функции Кобба-Дугласа считать, что затраты труда есть линейная зависимость от времени, а затраты капитала неизменны, то она примет вид . Тогда объем выпускаемой продукции за T лет составит:

(см. Пример 50).

• Вычисление современной (дисконтированной) суммы (финансовая математика).

Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время t при годовом проценте p, называется дисконтированием. Задачи такого рода встречаются при определении экономической эффективности капитальных вложений.

Пусть - конечная сумма полученная за t лет, и К – дисконтируемая сумма, которую в финансовом анализе называют также современной суммой. Если проценты простые, то - удельная процентная ставка. Тогда . В случае сложных процентов и поэтому .

Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией f(t) и при удельной норме процента, равной i, процент начисляется непрерывно. Можно показать, что в этом случае дисконтированный доход K за время Т вычисляется по формуле:

(см. Пример 51).

• Применение теоремы о среднем.

Пусть известна функция t=t(x), описывающая изменение затрат времени t на изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства, где x – порядковый номер изделия в партии. Тогда среднее время, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от изделий, вычисляется по теореме о среднем:

.

Что касается функции изменения затрат времени на изготовление изделий t=t(x), то часто она имеет вид

,

где – затраты времени на первое изделие, - показатель производственного процесса. (см. Пример 52).

Пример 50 Найти объём продукции, произведённой за 4 года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид .

Решение:

Используем метод интегрирования по частям. Пусть , . Тогда , .

Следовательно,

(усл. ед.)

Пример 51 Определить дисконтированный доход за три года при процентной ставке 8%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 10 млн. руб., и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 1 млн. руб.

Решение:

Очевидно, что капиталовложения задаются функцией . Тогда по формуле:

дисконтированная сумма капиталовложений равна:

.

Вычислим интеграл по частям

Итак, получили млн. руб. Это означает, что для получения одинаковой наращенной суммы через три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 млн. руб. равносильны одновременным первоначальным вложениям 31 млн. руб. при той же, начисляемой непрерывно, процентной ставке.

Пример 52 Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от до изделий, используя формулу

,

полагая в формуле , где – затраты времени на первое изделие, – показатель производственного процесса, (мин.), .

Решение:

(мин.).