
- •Для экономистов
- •Часть III
- •Лукинова с. Г.
- •Для экономистов
- •Часть III
- •Содержание.
- •Интегральное исчисление
- •Дифференциальные уравнения
- •Приложения в экономике
- •1. Программа, цели и задачи дисциплины, сфера профессионального использования
- •2 Теоретическая часть
- •2.1 Интегральное исчисление
- •2.1.1 Неопределённый интеграл, его свойства
- •Интегралы от основных элементарных функций (Таблица интегралов)
- •2.1.2 Методы интегрирования
- •2.1.3 Определённый интеграл, его свойства
- •2.1.4 Теорема Ньютона-Лейбница
- •Интегрирование по частям
- •2.1.5 Геометрические приложения определённого интеграла Вычисления площадей плоских фигур
- •2.1.6 Несобственные интегралы
- •Пример 13 Исследовать на сходимость интегралы:
- •Пример 14
- •2.1.7 Понятие двойного интеграла
- •2.2 Дифференциальные уравнения
- •2.2.1 Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.
- •2.2.2 Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения
- •Уравнением Бернулли
- •2.2.3 Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •2.2.5 Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •2.2.6 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. . Метод Лагранжа
- •2.2.7 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
- •2.3 Ряды
- •Числовые ряды. Основные понятия. Необходимый признак сходимости ряда
- •Свойства сходящихся числовых рядов
- •2.3.2 Достаточные признаки сходимости рядов
- •2.3.3 Знакопеременные ряды. Признак Лейбница
- •Пример 37 Исследовать ряд на сходимость.
- •2.3.4 Функциональные ряды. Степенные ряды
- •Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора, Маклорена
- •Применение рядов в приближенных вычислениях
- •2.4 Приложения в экономике
- •2.4.1 Приложения интегрального исчисления в экономике
- •2.4.2 Приложения дифференциальных уравнений в экономике.
- •Это дифференциальное уравнение – с разделяющимися переменными. Решим его:
- •3. Руководство к изучению разделов Тема: Неопределенный интеграл
- •Тема: Определенный Интеграл
- •Тема: Дифференциальные уравнения
- •Тема: Ряды
- •4. Вопросы и задания для самооценки
- •Понятие двойного интеграла.
- •6. Вопросы к экзамену
- •Неопределённый интеграл, его свойства
- •Теорема Ньютона-Лейбница
- •Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
- •Применение рядов в приближенных вычислениях
- •7 Конспект-схемы
- •Разложение многочлена на линейные и квадратные множители
- •(Таблица интегралов)
- •Кс 4. Интегрирование тригонометрических выражений.
- •1) При вычислении
- •2) При вычислении ,
- •4) При вычислении
- •Приложение а Контрольная работа №3 «Интегральное исчисление. Применение в экономике.»
- •Задачи 141 – 160 Исследовать на сходимость числовой ряд:
- •Варианты контрольных работ
- •Приложение с Алфавитно-предметный указатель (ключевые слова)
- •Литература
Пример 37 Исследовать ряд на сходимость.
Решение:
Составим ряд из модулей
,
он сходится.
По признаку сравнения, так как
Ряд
– сходится, следовательно сходится и
ряд
.
Таким образом сходится абсолютно ряд .
Для знакочередующихся рядов имеет место
признак сходимости Лейбница.
Если члены знакочередующегося ряда
1) монотонно убывают по абсолютной величине, т. е.
,
и
2) общий член ряда стремится к нулю,
,
то:
1) ряд сходится;
2) его сумма не превосходит величины первого члена ряда
;
3) модуль суммы остатка ряда не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена (первого члена остатка):
и имеет знак своего первого члена.
Пример 38 Исследовать на сходимость ряды
а)
б)
Решение:
а) ряд сходится по признаку Лейбница, так как члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине
и общий член ряда стремится к нулю, ,
б) ряд сходится по признаку Лейбница:
;
.
Если положить его сумму S, приближенно равной сумме первых шести членов этого ряда, то получим ошибку, абсолютная величина которой меньше, чем
S=0,907.
2.3.4 Функциональные ряды. Степенные ряды
Функциональным рядом называется выражение
,
члены
которого
являются функциями от
.
Придавая
числовое значение
,
мы получаем числовой ряд
который может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Множество тех значений,
,
при которых функциональный ряд сходится,
называется его областью сходимости.
Ясно, что в области сходимости сумма
функционального ряда является некоторой
функцией от
.
Обозначим се через
.
Функциональный ряд сходится в точке x0 , если сходится числовой ряд .
Функциональный ряд сходится на интервале J, если он сходится в каждой точке этого интервала.
На интервале сходимости J сумма ряда есть некоторая функция S(x).
Например, используя известные признаки сходимости числовых рядов, можно найти интервалы сходимости функциональных рядов:
1)
.
2)
;
сходится для
3)
– ряд Дирихле: при
сходится, при
расходится.
4)
расходится
для
.
Специальный класс функциональных рядов составляют гак называемые степенные ряды вида
=
,
где
-- последовательность действительных
чисел, называют коэффициентами ряда.
Выясним, какой вид имеет "область
сходимости" степенного ряда, то
есть множество
тех значений переменной, для которых
ряд сходятся.
Теорема Абеля.
Если степенной ряд
сходится в точке
,
то он сходится и притом абсолютно в
интервале
,
то есть при всех значениях
,
удовлетворяющих условию.
.
Следствие:
Если степенной ряд расходится при
некотором значении
,
то он расходится и при всех значениях
.
Любой степенной ряд сходится при значении
.
Есть степенные ряды, которые
сходятся только при
и расходятся при остальных значениях
.
Область сходимости может состоять из всех точек оси Ох, другими словами, ряд может сходится при всех .
Пример
39 Исследовать сходимость ряда
.
Решение:
Ряд
представляет геометрическую прогрессию
со знаменателем
,
сходится при
и расходится при
.
Из теоремы Абеля и ее следствия получаем, что все точки сходимости расположены от начала координат не дальше, чем любая из точек расходимости. Совершенно ясно, что точки сходимости будут целиком заполнять некоторый интервал с центром в начале координат.
Таким образом, можно сказать, что для
каждого степенного ряда, имеющего как
точки сходимости, так и точки расходимости,
существует такое положительное число
,
что для всех
,
по модулю меньших
,
ряд абсолютно сходится, а для всех
,
по модулю больших
,
ряд расходится.
Что касается значений
здесь могут быть различные возможности:
ряд может сходится в обеих точках, или
только в одной из них, или ни в одной.
При этом ряд может сходиться как
абсолютно, так и условно.
Радиусом сходимости степенного
ряда
называется такое число
,
что для всех
,
,
степенной ряд сходится, а для всех
,
расходится. Интервал
называется интервалом сходимости.
Условимся для рядов, расходящихся при
всех
,
кроме
.
считать
,
а для рядов, сходящихся при всех
,
считать
.
Как найти радиус сходимости?
Если все коэффициенты степенного ряда,
начиная с некоторого, отличны от нуля,
то его радиус сходимости равен пределу
при
отношения абсолютных величин коэффициентов
общего и следующего за ним членов ряда.
Составим ряд из абсолютных величин членов ряда
Найдем отношение
для этого ряда:
а затем предел его при :
Здесь множитель
вынесен за знак предела, как не зависящий
от
и введено обозначение
,
если
этот предел существует и не равен нулю.
Согласно признаку Даламбера, ряд
сходится, если
,.
откуда
.
Отсюда следует, что ряд сходится, и
притом абсолютно, при значениях
.
Согласно тому же признаку Даламбера,
ряд расходится, если
или
.
Однако в этом случае из признака Даламбера
следует, что члены ряда не стремятся к
нулю. Тогда при
не стремятся к нулю и члены ряда, а потому
и он расходится
при значениях
.
Следовательно, согласно определению,
число
– радиус сходимости степенного ряда.
из соотношения получим
Пример
40 Найти радиус сходимости ряда
Решение:
Пример 41 Найти область сходимости степенного ряда
Решение:
Найдем отношение
т. е. ряд сходится только при
и расходится при остальных значениях
.
Пример 42 Найти область сходимости степенного ряда:
Решение:
Здесь
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.
При
имеем ряд
он сходится по теореме Лейбница.
При
имеем ряд
,
который расходится как произведение
расходящегося гармонического ряда на
-1. Следовательно; областью сходимости
служит полуинтервал
.
Пример 43 Найти область сходимости степенного ряда
Решение:
Найдем радиус сходимости ряда
Исследуем сходимость ряда при значениях
.
Подставив их в данный ряд соответственно
получим
Оба ряда расходятся, так как не выполняется
необходимое условие сходимости (их
общие члены не стремятся к нулю при
).
На обоих концах интервала сходимости
данный ряд расходится а область его
сходимости
Замечание.
Формула радиуса сходимости степенного ряда получена в предположении, что все коэффициенты членов ряда начиная с некоторого, отличны от нуля. Применение формулы допустимо только в этих случаях. Если это условие нарушается, то радиус сходимости степенного ряда следует искать или с помощью признаков Даламбера. Коши, или же сделав замену переменной, преобразованием ряда к виду в котором указанное условие выполняется.
Свойства степенных рядов
Рассмотрим степенной ряд
имеющий радиус сходимости
(
может равняться
).
Тогда каждому значению
из интервала сходимости соответствует
некоторая сумма ряда. Следовательно,
сумма степенного ряда есть функция от
на интервале сходимости.
Обозначим ее через
.
Тогда можно записать равенство
понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке из интервала сходимости равна значению функции в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что ряд сходится к функции на интервале сходимости. Вне интервала сходимости равенство не имеет смысла.
Пример 44 Найти сумму степенного ряда
Решение:
Это ряд составленный из членов
геометрической прогрессии, у которой
.
Следовательно, его сумма есть функция
.
Ряд сходится, если
.
Поэтому равенство
справедливо лишь для значений
,
хотя функция
определена для всех значений
кроме
Можно доказать, что сумма степенного ряда непрерывна и дифференцируема на любом отроке внутри интервала сходимости.
Равенство справедливое в интервале сходимости степенного ряда называют разложением в степенной ряд.
Для степенных рядов справедливы следующие утверждения:
1) Степенной ряд в интервале его сходимости
можно почленно дифференцировать
неограниченное число раз причем
получающиеся при этом степенные ряды
имеют тот же радиус сходимости, что и
исходный ряд а суммы их соответственно
равны
.
2) Степенной ряд можно неограниченное
число раз почленно интегрировать в
пределах от 0 до
,
если
,
причем получающиеся при этом степенные
ряды имеют тот же радиус сходимости,
что и исходный ряд, а суммы их соответственно
равны