2.2.7 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
Рассмотрим уравнение второго порядка
,
где
коэффициенты
– числа,
.
Согласно теореме о структуре общего решения, оно имеет вид:
,
где – общее решение однородного дифференциального уравнения,
– частное решение
неоднородного дифференциального
уравнения.
Вид функции устанавливается по виду правой части дифференциального уравнения .
Сначала, как и при методе Лагранжа, находится общее решение однородного дифференциального уравнения
,
его характеристическое уравнение имеет вид
,
где
– его корни.
Затем отыскивается частное решение неоднородного уравнения Рассмотрим некоторые частные случаи:
пусть правая часть уравнения имеет вид
,
тогда частное решение определяется следующим образом:
,
если
,
,
если
,
,
если
,
где А – неопределенный коэффициент, находится методом неопределенных коэффициентов (см. пример).
2) пусть правая часть имеет вид
где
– многочлен
степени
,
тогда частное решение определяется
следующим образом:
,
если
,
,
если
,
,
если
,
где А,B,C…D – неопределенные коэффициенты, находятся методом неопределенных коэффициентов (см. пример).
В частности, если правая часть имеет вид
где – многочлен степени , тогда частное решение определяется следующим образом:
,
если
,
,
если
,
,
если
.
3) пусть правая часть имеет вид
или
,
тогда частное решение определяется следующим образом:
,
если
,
,
если
.
В частности, если правая часть имеет вид
или
,
тогда частное решение определяется следующим образом:
,
если
,
,
если
.
4) пусть правая часть имеет вид
,
тогда частное решение определяется следующим образом:
,
где
;
если
Пример 28 Записать вид частного решения следующих дифференциальных уравнений:
; б) 
;
; г) 
.
Решение:
а) .
Решаем соответствующее
однородное уравнение
.
Составляем
характеристическое уравнение:
,
находим корни:
;
;
.
Общее решение
однородного уравнения
.
Правая часть
исходного уравнения имеет вид:
;
;
.
Т.к. число не является корнем характеристического уравнения, а – многочлен первой степени, то частное решение уравнения имеет вид:
.
г) .
Решаем соответствующее
однородное уравнение
,
находим корни
.
Общее решение
однородного уравнения:
.
Правая часть
исходного уравнения имеет вид:
,
отсюда
,
.
Т.к. число
не является корнем характеристического
уравнения, а
и
– многочлены нулевой степени, то частное
решение уравнения имеет следующий вид:
.
Выполнить примеры б, в самостоятельно.
Пример 29 Решить следующие дифференциальные уравнения:
; б) 
;
.
Решение:
а) Решаем соответствующее однородное уравнение:
.
Составляем
характеристическое уравнение
,
находим корни
;
.
Общее решение
однородного уравнения
.
По виду правой
части
,
находим частное решение
,
число
.
Методом
неопределённых коэффициентов
найдём
.
; 
.
Подставим в исходное
уравнение:
.
Получим
,
тогда частное
решение
.
Общее решение исходного дифференциального уравнения
б)
;
;
.
Данная задача является задачей Коши, требуется найти частное решение, удовлетворяющее исходному уравнению и поставленным начальным условиям.
Решаем соответствующее однородное уравнение:
.
Составляем характеристическое уравнение ,
находим корни
;
.
Общее решение
однородного уравнения
.
По виду правой
части – многочлену второй степени
,
находим частное решение.
Число
является корнем характеристического
уравнения, а
– многочлен второй степени, тогда
частное решение имеет вид:
.
Методом
неопределённых коэффициентов
найдём
,
,
.
Так как
;
,
то подставляя в исходное уравнение, получим
.
После приведения
подобных:
.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях у многочленов, стоящих в левой и правой части равенства, получим систему:
решая ее, найдем
Отсюда частное
решение
.
Общее решение
.
Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.
В общее решение
подставим
.
Чтобы удовлетворить
второму условию
,
найдём
.
Положим
,
.
Получим
.
Получим систему:
Частное решение
.
в) .
Решаем соответствующее
однородное уравнение
.
Его характеристическое
уравнение
.
Правая часть исходного уравнения имеет вид:
,
следовательно,
;
.
не является корнем
характеристического уравнения. Многочлены
– многочлены нулевой степени, поэтому
частное решение ищем в виде:
.
Методом неопределённых коэффициентов найдём и .
;
.
Подставим в исходное уравнение:
;
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях:
; 
;
; 
.
Найдено частное
решение
.
Общее решение
.
Пример
30 Решить
уравнение
Решение:
Общее решение однородного уравнения будет
Частное решите
неоднородного уравнения будем искать
в виде суммы двух частных решений, так
как правая часть есть сумма функций
:
Подставляя в исходное уравнение получим:
Приравнивая коэффициенты при подобных членов в обеих частях уравнения получим:
итак, общее решение имеет вид
