5.8 Оцінка статистичної надійності параметрів і характеристик рівняння виробничої функції. Методи надання рівнянню статистичної надійності.

Ступінь надійності параметрів і статистичних характеристик рівняння і власне самого рівняння є важливою умовою можливості використання їх в аналізі і особливо у прогнозуванні і плануванні.

Необхідність статистичної оцінки рівняння та його параметрів і характеристик обумовлюється тим, що дослідник у практичній роботі використовує часто-густо вибіркову сукупність, у той час як висновки за результатами аналізу і прогнозування необхідно розповсюдити на генеральну сукупність.

Оскільки зі зміною обсягу вибіркової сукупності значення параметрів і статистичних характеристик рівняння зазвичай коливаються, необхідно з певною імовірністю бути впевненим, що значення цих показників, по-перше, не будуть дорівнювати нулю у генеральній сукупності (спростування, так званої, нульової гіпотези) і, по-друге, величини їх будуть знаходитися в певних довірчих інтервалах.

Оцінки надійності параметрів і статистичних характеристик рівняння, відомі під назвою перевірка істотності, визначаються за допомогою t-критерія Стьюдента.

Загалом t-критерій розраховується як відношення значення показника, який перевіряється на істотність, до стандартної помилки цього ж показника.

Так, наприклад, t-критерій для множинного кореляційного відношення дорівнює

(2.18)

При заданому рівні істотності (а) можна з імовірністю р=1–а стверджувати, що множинне кореляційне відношення у генеральній сукупності буде знаходитися в інтервалі

(2.19)

Істотність коефіцієнта регресії (а_i) по t-критерію розраховується за формулою

(2.20)

де - залишкова дисперсія;

- i-тий діагональний елемент матриці, яка зворотна до матриці системи нормальних рівнянь

Інтервал довіри для коефіцієнта регресії розраховується аналогічно множинному кореляційному відношенню (2.19).

Істотність рівняння перевіряється за F-критерієм Фішера

(2.21)

По F-критерію Фішера перевіряється гіпотеза про те, що вирівнювання за побудованим рівнянням краще, ніж вирівнювання за рівнянням [46].

Про істотність показників і моделей можна стверджувати в тому випадку, якщо виконується умова:

(2.22)

Де р, Т - індекси слів відповідно "розрахункове" і "табличне".

Табличні значення t-критерія Стьюдента (t_T) та F-критерія Фішера (F_T) наведені відповідно в додатках Б і В.

Однією з вимог до статистичної надійності рівняння, побудованого за даними динамічного ряду, є відсутність автокореляції, тобто тісного зв'язку між послідовними рівнями ряду динаміки.

(2.23)

Наявність автокореляції свідчить про недостатнє визначення динаміки результативного показника факторами, що включені у модель.

Автокореляція не перешкоджає визначенню як зв'язків між досліджуваним показником і факторами, так і обчисленню параметрів і статистичних характеристик рівняння, однак вона унеможливлює використання класичних статистичних методів відносно гарантії надійності рівняння, параметрів і статистичних характеристик та можливості побудови довірчих інтервалів. Отже, автокореляція більш "небезпечна" при використанні рівняння для побудови прогнозу, ніж при проведенні ретроспективного економічного аналізу.

Наявність автокореляції будь-якого динамічного ряду перевіряється зазвичай за допомогою відношення фон Неймана-Харта

(2.23)

або емпіричного коефіцієнта автокореляції

(2.24)

де n - число елементів вибірки;

L - лаг (як правило і=1);

t - індекс року.

Розрахункове значення відношення фон Неймаиа-Харта (2.23) порівнюється з табличними оцінками, які наводяться для двох випадків: додатного ( )і від'ємного (N°_T) зв'язків (додаток Д).

Якщо N< , то існує позитивна автокореляція; якщоN> N°_T то залежність між відхиленнями від'ємна.

Автокореляція вважається несуттєвою, якщо виконується умова

<N<N°_T.

Якщо розрахований у відповідності з формулою (2.24) емпіричний коефіцієнт автокореляції менше табличного значення, то автокореляція рядів динаміки відсутня; в протилежному випадку вона є (додаток Г).

В дослідженнях не стільки небезпечна автокореляція початкових (мається на увазі не перетворених) рівнів ряду динаміки, скільки автокореляція залишків, тобто різниці між фактичними і розрахунковими значеннями результативної ознаки на підставі рівняння

(2.25)

Наявність автокореляції залишків вказує на те, що є певні закономірності зміни останніх, які можуть бути спричинені, по-перше, відсутністю в моделі важливого фактора або декількох факторів, що в значній мірі визначають зміни результативного показника, по-друге, неправильним вибором форми зв'язку. Автокореляція залишків призводить до неефективних оцінок параметрів моделі.

Автокореляція залишків оцінюється за допомогою статистики (критерію Дарбіна-Ватсона)

(2.26)

Для оцінки автокореляції залишків за критерієм Дарбіна-Ватсона розрахункове значення d порівнюється з табличними величинами і де — нижня границя; — верхня границя критерія (додаток Е).

Якщо , то ряд має автокореляцію; якщо , то кореляція в залишках відсутня; якщо , то необхідні додаткові дослідження (наприклад, збільшити довжину динамічного ряду). Табличні значення критерія Дарбіна-Ватсона наводяться для позитивної (додатньої) автокореляції. Для перевірки від'ємного зв'язку рекомендується розрахувати різницю (4 - d), після чого отримане значення порівнюється з і .

Сутність мультиколеніарності та її вплив на статистичну надійність рівняння описані в параграфі (2.2).

Методи надання рівнянню статистичної надійності.

З огляду на викладене у попередньому параграфі, головні проблеми, з якими стикається дослідник в процесі побудови і використання виробничої функції, ― це мультиколеніарність, рівень істотності рівняння, параметрів і характеристик моделі, автокореляція.

Щоб забезпечити наукову і практичну цінність побудованої виробничої функції, необхідно:

• усунути мультиколеніарність;

• виключити неістотні за t-критерієм Стьюдента фактори;

• позбутися автокореляції.

Водночас слід звернути увагу на істотність за t-критерієм cтатистичних характеристик рівняння (коефіцієнт кореляції, кореляційне відношення) і власне самого рівняння ( F-критерій Фішера).

Існує декілька методів усунення мультиколеніарності. Найпростіший метод ― виключити із рівняння один із тісно взаємозв'язаних факторів. Фактор, що передбачено виключити, вибирається або на основі логічного підходу, виходячи із економічного змісту, природи досліджуваного процесу (явища), або, використовуючи формальний підхід, вибирають той фактор, тісното зв'язку якого з результативним показником, оціненим за парним коефіцієнтом кореляції, найслабша. Однак такий метод не завжди доцільний, оскільки, покращуючи формально "статистичні якості" рівняння, він нерідко знижує його аналітичну та прогнозну цінність.

Водночас таку операцію можна здійснювати у рівняннях, які включають значну кількість факторів. У виробничих функціях і особливо у функціях випуску склад факторів обмежений. До того ж вилучення із рівняння окремих факторів викликає зміщення в оцінках параметрів.

У економічних дослідженнях бажана певна обґрунтована комбінація факторів. Тому, щоб позбутися мультиколеніарності без виключення факторів з моделі, рекомендується здійснювати попереднє перетворення факторів, зокрема:

- замість початкових даних, отриманих в результаті статистичного спостереження, варто скористатися їх першими різницями ;

- перетворити початкові дані, які знаходяться у тісному взаємозв'язку, у похідні величини, наприклад, у співвідношення двох початкових даних. Результат перетворень величин повинен відображати певний економічний зміст.

При оцінці істотності параметрів і характеристик рівняння та власне самого рівняння потрібно спочатку визначитися, якою початковою інформацією користується дослідник у побудові і реалі­зації моделі. Якщо початкова інформація є репрезентативною вибір­кою, то потрібен "жорсткий" підхід до оцінки істотності, тобто у всіх випадках має зберігатися умова, яка наведена у (2.22). У протилеж­ному випадку, якщо розширення вибірки і доповнення складу факторів не сприяють виконанню вимоги (2.22), то таке рівняння виключається із дослідження.

Якщо ж рівняння істотне за F-критерієм Фішера, і водночас істотним за t-критерієм Ст’юдента є коефіцієнт множинної кореляції (множинне кореляційне відношення), але неістотними за t-критерієм є окремі коефіцієнти регресії, то, керуючись методикою багатокрокового регресійного аналізу, необхідно поетапно виключати із рівняння неістотні фактори [46].

Формальне дотримання зазначеної методики призводить до того, що із рівняння інколи виключаються найбільш суттєві фактори і тим самим знижується наукова і прикладна цінність моделі. Такий підхід вважається негнучким, і тому виключати з рівняння фактор рекомендуються лише у тому випадку, коли квадратична помилка коефіцієнта регресії перевищує абсолютний розмір власне коефіцієнта регресії, і при цьому, що найголовніше, коли немає сильних логічних підстав для виключення з моделі даної змінної. До того ж малоймовірно, щоб коефіцієнт регресії у генеральній сукупності дорівнював нулю [49].

Таким чином, перевага віддається якісному аналізу, тобто теоретичним основам процесу, у порівнянні з кількісним аналізом, або формальними правилами математичної статистики.

Якщо ж, на відміну від репрезентативної вибірки, початкова інформація являє собою дані звітності по певному об'єкту за ряд років, то у такому випадку не доводиться говорити про випадкові змінні, і тому немає необхідності дотримуватися жорстких вимог та правил математичної статистики.

Існує декілька способів усунення автокореляції у динамічних рядах.

Перший метод - це логарифмування початкових даних, що означає надання переваги логарифмічним моделям перед іншими моделями при обробці динамічних рядів; другий метод - використання перших різниць [43].

Перші два методи використовуються у такій послідовності.

Логарифмічне рівняння перетворюється у лінійне.

Якщо позначити

тоді (2.27)

Перші різниці дорівнюють

(2.28)

Звідси, система, нормальних рівнянь реалізується для моделі

(2.29)

Для отримання прогнозу у прийнятих одиницях виміру виконуються розрахунки, описані нижче. Оскільки

(2.30)

Звідси

(2.31)

Третій метод - авторегресивне перетворення:

де r* - емпіричний коефіцієнт автокореляції.

Прогнозні значення розраховуються таким чином:

(2.32)

З огляду на умовні позначення та формулу (2.32)

(2.33)

Звідси

(2.34)

Четвертий метод — це включення фактора часу (t) у багато факторні рівняння [43]. Вважається, що включення фактора (t) динамізує багатофакторну виробничу функцію при обробці динамічних рядів та виключає лінійну тенденцію у логарифмічних даних (рівнозначно показникові тенденції у початкових даних), що в результаті сприяє послабленню автокореляції.

Досвід показує, що навіть логарифмування початкових даних (використання логарифмічної моделі) у достатній мірі послаблює автокореляцію, і до того ж, як уже зазначалось, є одним із розповсюджених способів приведення розподілу, що має праву асиметрію, до нормальної форми.

Що ж стосується включення фактора часу (t) у багатофакторну модель, то це рівноцінно більш трудомісткій операції - розрахунок виробничої функції на основі відхилення від тенденції у часових рядах. Останнє ґрунтується на припущенні, що часовий ряд складається із систематичної частини і випадкової компоненти, яка не містить автокореляцію.

Включення фактора часу (t) у рівняння з метою послаблення автокореляції, як зазначалося у параграфі (1.1), - процедура досить дискусійна і може, крім іншого, спотворити економічно обґрунтовані взаємозв'язки між окремими факторами та досліджуваним показни­ком.

Отже, всі зазначені вище процедури підвищення статистичної надійності рівняння виробничої функції слід здійснювати у поєднанні з якісним (теоретичним) аналізом отриманих результатів на всіх етапах процесу побудови і реалізації моделі, оскільки без цього неможливо досягнути статистичної і логічної адекватності рівняння, як неодмінної умови використання рівняння в управлінні виробництвом.