II. Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, один из которых равен нулю.

Как правило, в таком диффуре отсутствует функция «игрек».

_{Пример: Рассмотрим подопытное неоднородное уравнение y}_3y_{f (x).}

_{Для соответствующего однородного уравнения y}_3y_{0 составим характеристическое}

уравнение ² 3 0 и найдем его корни: ₁ 3, ₂ 0

Получены различные действительные корни, один из которых равен нулю.







y

~ ~

y

y

~

~

~

y



~



~

~

~









~

Правая часть f (x)

В каком виде нужно искать частное решение ^~

Неоднородного уравнения?

Правило: Если в правой части f (x) находится ненулевая константа или многочлен, и один из

корней характеристического уравнения равен нулю, то «очевидный» подбор частного решения необходимо домножить на «икс»:

18. f (x) 10 y xA, то есть частное решение ищем в виде y Ax

19. f (x) 2x 20. f (x) x² 3

21. f (x) x³

^~ x(Ax B), т.е. частное решение ищем в виде ^~ Ax² Bx

y x(Ax² Bx C) или y (Ax³ Bx² Cx)

^~ x(Ax³ Bx² Cx D) или y (Ax⁴ Bx³ Cx² Dx)

Если в правую часть входит экспонента или экспонента, умноженная на многочлен, то подбор частного решения следует проводить по тем же принципам, по которым он проведён в примерах №№5-8.

На всякий случай еще пара примеров:

22. f (x) (x² 2x)e^3x

23. f (x) (1x)e^3x

Коэффициент в показателе экспоненты: не совпадает с корнем характеристического уравнения ₁ 3

y (Ax² Bx C)e^3x

Коэффициент в показателе экспоненты: совпал с корнем характеристического уравнения ₁ 3. Поэтому «обычный» подбор y (Ax B)e^3x нужно домножить на «икс»:

y x(Ax B)e^3x , то есть, искать частное решение в виде:

y (Ax² Bx)e^3x

Если правая часть f (x) имеет вид из примеров №№9-17, то подбор осуществляется точно так же, как уже разобрано – в штатном режиме (см. Раздел I).

Дополнительный пример:

_{Рассмотрим дифференциальное уравнение третьего порядка: y}_y_{f (x) . Для соответствующего однородного уравнения y}_y_{0 составим характеристическое уравнение}

3 2 0 И найдем его корни: 1,2 0, 3 1.

Если получено два кратных нулевых корня и в правой части f (x) находится многочлен

(аналогично примерам №№18-21), то «штатный» подбор нужно домножать уже на x² . Например, если f (x) 3x , то частное решение следует искать в виде:

y x² (Ax B) (Ax³ Bx²)

© http://mathprofi.ru, Высшая математика – просто и доступно!

Распространение данного материала разрешено при условии сохранения копирайта

Данная таблица является неотъемлемой частью урока http://mathprofi.ru/kak_reshit_neodnorodnoe_uravnenie_vtorogo_poryadka.html Автор: Емелин А.