§ 4. Сили в механіці і сили інерції
Механічна
напруга сили
,
що діє на одиницю площі поперечного
перерізу тіла
. (1.54)
Відношення
абсолютної деформації (1.поперечної
та поздовжньої
)
до початкового розміру (
та
)
називається відносна поперечна
та поздовжня
деформації
та
. (1.55)
Відношення поперечної деформації до поздовжньої називається коефіцієнтом Пуасона
. (1.56)
Відносна зміна об'єму при поздовжній деформації
. (1.57)
Кут зсуву при деформації зсуву
, (1.58)
де
- коефіцієнт
зсуву;
- дотична сила, яка викликає зсув;
— дотична
напруга;
- модуль зсуву.
Модуль
Юнга
,
модуль зсуву
і коефіцієнт Пуассона
зв'язані співвідношенням
. (1.59)
Кут закручення стержня
, (1.60)
де
— обертальний
момент;
— довжина стержня;
— радіус
стержня.
Потенціальна енергія пружно деформованого стержня
, (1.61)
де
—
об'єм тіла.
Сила пружності
, (1.62)
де - коефіцієнт пружності; - абсолютна деформація.
Потенціальна енергія деформованого пружного тіла
. (1.63)
Закон Гука
, (1.64)
де - модуль пружності Юнга, Па.
Значення граничної зовнішньої сила тертя ковзання визначається за формулою Амонтона – Кулона:
, (1.65)
де
- коефіцієнт тертя спокою;
- сила нормального тиску.
Сила тертя кочення:
, (1.66)
де
- коефіцієнт тертя кочення, м;
- радіус тіла, м.
Сила інерції, яка діє на рухоме тіло у системі відліку, що обертається має назву сила Коріоліса
, (1.67)
де
- швидкість руху тіла масою
,
- кутова швидкість системи відліку.
В
неінерційній
системі відліку, яка рухається поступово
з прискоренням
відносно інерційної системи відліку,
другий закон Ньютона має вигляд
, (1.67а)
де
- сума усіх сил, що діють на дане тіло
збоку других тіл;
- сила інерції;
- прискорення тіла в неінерційній
системі відліку.
§ 5. Динаміка обертального руху твердого тіла
Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла
, (1.68)
де
— геометрична
сума моментів зовнішніх сил;
— момент інерції тіла;
— кутове
прискорення.
Момент
інерції матеріальної точки масою
, (1.69)
де
— відстань
від точки до центра обертання.
Момент інерції деяких тіл правильної геометричної форми
1) однорідної кулі масою і радіуса К відносно осі, що збігається з діаметром:
; (1.70)
2) однорідного стержня довжиною і масою відносно осі, що проходить через центр його мас перпендикулярно до осі стержня:
; (1.71)
3) однорідного диска (циліндра) радіуса і масою відносно осі, що збігається з віссю диска (циліндра):
; (1.72)
4) тонкостінного кільця (труби) радіуса масою відносно осі, що збігається з віссю кільця (труби):
; (1.73)
5) пустотілого циліндра масою відносно осі симетрії:
, (1.74)
де
і
— відповідно внутрішній і зовнішній
радіуси циліндра.
Момент інерції тіла відносно будь-якої осі, що не проходить через центр мас тіла, визначається за теоремою Штейнера:
, (1.75)
де
— момент інерції тіла відносно осі,
яка паралельна даній і проведена через
центр мас тіла;
— відстань
між осями.
Робота зовнішніх сил при повороті твердого тіла на кут
. (1.76)
У випадку змінного моменту зовнішніх сил
. (1.77)
Кінетична енергія тіла, що обертається навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю ,
, (1.78)
де — момент інерції тіла відносно розглядуваної осі обертання.
Якщо тіло одночасно перебуває у поступальному і обертальному рухах, то його кінетична енергія
, (1.79)
де
і
— відповідно
кінетична енергія поступального і
обертального рухів.
Момент імпульсу матеріальної точки відносно нерухомої точки
. (1.80)
Швидкість зміні з часом моменту імпульсу дорівнює моменту сили, що діє на тіло:
. (1.81)
Закон збереження моменту імпульсу в ізольованій механічній системі
. (1.82)
Момент імпульсу твердого тіла відносно нерухомої осі
, (1.83)
де
— момент інерції тіла відносно нерухомої
осі
;
— кутова
швидкість обертання тіла навколо осі
.
Кутова швидкість регулярної прецесії гіроскопа масою
, (1.84)
де
- кутова швидкість гіроскопа;
- його момент інерції;
- відстань від точки опори до центра
мас гіроскопа.