Опред-те связь м/у ско св и ско их среднеарифм-го зн-ия

СКО среднеарифметического значения равна СКО СВ деленное на корень из числа СВ.

5.6. Оцените дисперсию совокупности, из которой извлекли следующую выборку данных: 22; 18; 17; 20; 21 (10 баллов). Поясните, какая из следующих мер вариабельности (среднее отклонение; дисперсия; размах; стандартное отклонение) не зависит от значений каждого измерения (10 баллов).

Оцените дисперсию совокупности, из которой извлекли следующую выборку данных: 22; 18; 17; 20; 21

Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

Средн. ошибка выб-ки зав-ит от колеблемости признака (σ) и от числа отобр-ых единиц (n).

Предельная ошибка выборки

Доверит-ое число t показ-ет, что расхождение не превышает кратную ему ошибку выборки. С вер-ю 0,954 можно утв-ть, что разность м/у выборочной и генеральной не превысит двух величин средней ошибки выборки, т.е. в 954 случаях ошибка репрезентативности не выйдет за рамки :

Поясните, какая из следующих мер вариабельности (среднее отклонение; дисперсия; размах; стандартное отклонение) не зависит от значений каждого измерения

1. Среднее абсолютное отклонение рассчитывается по формуле:

Это средняя мера откл-ия каж-го знач-ия признака от ср-го зн-ия.

2. Среднее значение вычисляется по формуле:

3. Дисперсия вычисляется по формуле:

Она характеризует отклонения каждого значения признака от среднего значения, возведенные в квадрат.

4. Определим среднее квадратическое откл-ие (станд-ое откл-ие):

5. Определим размах:

Он хар-ет пределы изменения варьирующего признака.

Как видно из привед-ых выше формул среднее абсолютное откл-ие, дисперсия, среднее квадратическое отклонение зависят от значения каждого измерения. А размах зависит только от максимальной/минимальной величины измерения.

5.7. Опред-те в рамках описательной стат.ки основные хар-ки дискретных и непрерывных СВ (5 баллов). Проанализируйте связь м/у этими хар-ками на примерах стат-ого упр-ия процессом (15 баллов).

Основные хар-ки дискретных и непрерывных СВ

ДСВ наз-ся физич. величины, принимающие конечные или бесконечные, но счетное число отдельных возможных значений. Соотношение, устанавливающее связь м/у отдельными возможными значениями ДСВ и соответствующих им вероятности, называется законом распределения ДСВ.

В теории вероятности устанавливают связь м/у возможными значениями ДСВ и возможными вероятностями этих значений. Такая связь наз-ся законом распределения ДСВ. Он м.б. задан таблично, линейным графиком или столбчатой диаграммой. З-н распределения должен удовлетворять условиям: 1) вероятность появления какого-либо значения ДСВ больше либо равна 0 2) сумма вероятностей появления какого-либо значения ДСВ равна 1.

Иногда исп-ся понятие ф-ция распределения ДСВ. Она определяет для каждого значения ДСВ вер-ть того, что СВ не превысит это значение:

Ф-ция ДСВ удовлетворяет следующим условиям:

1) F (x меньше x_min)=0 ; 2) F (x больше x_max)=1

3) F(x) – ф-ция не убывающая.

Основные свойства ДСВ:

1. Ожидаемое среднее значение ДСВ – мат. ожидание

Свойства математического ожидания:

• От постоянной величины равняется самой постоянной величине

• Если все значение ДСВ умножаются на постоянную величину, то математическое ожидание полученных величин будет равно:

• Если необходимо вычислить математическое ожидание СВ, получаемых как сумма или разница нескольких ДСВ, то оно будет равно сумме или разнице соответственно математических ожиданий этих величин Аналогично – произведение Математическое ожидание ДСВ ко всем значениям которым добавляется или отнимается постоянная величина будет равно математическому ожиданию исходной ДСВ смещенному на эту постоянную величину

• Математическое ожидание ср.арифм.знач. = ср.арифм.знач.

2. Дисперсия ДСВ – это математическое ожидание отклонений ДСВ от её математического ожидания в квадрате Свойства дисперсии ДСВ:

• От постоянной величины равняется нулю

• Если все значение ДСВ умножаются на постоянную величину, то дисперсия полученных величин будет равна:

• Дисперсия суммы или разности N независимых ДСВ равняется сумме или разности дисперсий этих ДСВ

• Если имеет место n ДСВ с D равным , то D произведения этих ДСВ равняется D(nx)=nD(x)

• при n стремящ. к бескон. точность повышается

Непрерывная СВ – это СВ, которая может принимать любые значения на заданном числовом интервале.

Основными и наиб. полными характеристиками НСВ явл-ся:

1. Интегральная функция распределения НСВ

Свойства:

1) F (–бескон.) = 0

2) F (бескон.)=1

3) F(x) – ф-ция неубывающая

4) Р(x больше либо равно альфа, но меньше либо равно бета) = F(бета) – F( альфа)

2. Функция плотности вероятности НСВ

Свойства ф-ции плотности вероятности:

1) f(x) больше либо равно 0

2) предел f(x) при х стремящемся к –бескон. стремится к 0

3) интеграл (нижний предел – бескон., а верхний +бескон.) f(x)dx=1

4) интеграл (ниж. предел альфа, а верхний бета) f(x)dx=P(x х меньше либо равно альфа, но больше либо равно бета)

Показатели характеристик НСВ:

1. Математическое ожидание

2. Дисперсия

3. СКО

4. Начальные моменты

5. Центральные моменты

Связь м/у хар-ками на примерах стат. упр-ия процессом.

Дискретные случайные величины и непрерывные случайные величины широко используются в статистическом управлении процесса.

Процесс - совокупность поставщиков, производителей, оборудования, материалов на входе, методов и окр. среды, работающих над создание продукта. Контроль процессов эффективен ,т.к. обеспечивает предупреждающие воздействия и направлен на непоявление несоответствующей продукции. Любой производственный процесс сопровождается вариациями контролируемого параметра. При большом числе измерений контролируемый параметр может характеризоваться функцией распределения. Это распределение может отличаться по положению (мат ожидание), по степени разброса (СКО), по форме или любой комбинации из них.

Для оперативного контроля процесса, выявления и классификации причин изменчивости эффективным инструментом явл-ся контрольные карты, предлагаемые доктором Шухартом.

Например, при построении контрольных карт по альтернативному признаку, которые применяются при оценке качества продукции по количеству несоответствий или числу несоответствующих единиц продукции, используются альтернативные данные – дискретная случайная величина, которая указывает наличие (или отсутствие) определенного признака и количество единиц выборки , имеющих (или не имеющих) данный признак. Преимущество контрольных карт по альтернативному признаку состоит в возможности быстро получить общее представление о различных аспектах качества анализируемого изделия; то есть, на основании различных критериев качества инженер может сразу принять или забраковать продукцию. Непрерывные случайные величины (результаты замера параметров изделия, температуры, влажности и т.д.) служат для построения более сложных по расчетам X и R – карт, которые позволяют более точно оценить контролируемый процесс (используется разделение по зонам A, B, C (σ, 2σ, 3σ)). Данные карты используются повсеместно на производстве. Карта Х средних характеризует изменчивость среднего значения параметра процесса, а карта размахов R характеризует степень разброса.

5.8. Приведите примеры распределений дискретных и непрерывных СВ, используемых в управлении кач-ом (5). Оцените вер=ть попадания непрерывной СВ в интервал : ± σ; ± 2σ; ± 3σ; относительно её математического ожидания (15)