6.2. Групповая скорость волнового пакета

Пусть в простейшем случае волновой пакет состоит из двух гармонических волн с близкими частотами и од­ной линейной поляризации:

(6.1)

(6.2)

Обозначим , , согласно (6.1), (6.2) находим результирующую напряженность поля в волновом пакете в виде:

Поскольку, , ,

(6.3)

Уравнение (6.3) показывает, что внутри волнового пакета в процессе его распространения происходят биения результирующего вектора напряженности с частотой (~ ). Скорость перемеще­ния волнового пакета в пространстве есть скорость передачи его энергии, или скорость распространения биений вектора . Для нахождения, этой скорости "зафиксируем" фазу биений

,

и продифференцируем ее по времени (подобно тому как мы нашли фазовую скорость в 4.7:

. (6.4)

Согласно (6.4) приближённое значение групповой скорости

.

Точное значение групповой скорости

. (6.5)

При нахождении мы допустили, что волны (1) и (2) - гармонические.

Если и переменные периодические функции, произвольно изменяющиеся в зависимости от и , они могут быть разложены на бесчисленное множество гармонических составляющих с близкими частотами [8 с. 355]. Выполняя попарно сложение таких составляющих, мы получим тот же результат (6.5).

6.3 Взаимосвязь фазовой скорости с грунтовой

Поскольку фазовая скорость и , согласно (6.5):

,

, (6.6)

где , , .

Подставляя и (6.6), получаем:

,

, (6.7)

Зависимость называют дисперсией скорости. Поскольку в ва­кууме дисперсия отсутствует,

, ,

Т.е. в вакууме фазовая скорость равна групповой. В диэлектрике . причем, при , . Если , .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ к главе 6

1. Постулаты Бора и механизм излучения квантов электромагнитно­го поля.

2. Понятие о волновом пакете.

3. Вывод формулы групповой скорости.

4. Взаимосвязь фазовой скорости с групповой.

Глава 7. Когерентность оптического излучения

7.1. Временная когерентность [1 с. 347-370, 10]

Анализ особенностей оптического излучения, сделанный в гл.6, показывает, что применение к этому излучению формул (5.29), (5.31), (5.32), (5.33), требует некоторых корректировок. С этой целью введем понятия временной и пространственной коге­рентности оптического излучения.

Пусть зависимость в волне, излученной за 1 электронный переход, имеет вид, показанный на рисунке 7.1. Из рисунка вид­но, что за время закон изменения фазы волны воспроизводит­ся во времени, причем

.

Рисунок 7.1

Промежуток времени, в течение которого закон изменения фазы волны воспроизводится без искажений назы­вается временем когерентности световой волны.

За время волна успевает пройти путь . (7.1)

Расстояние , которое проходит световая волна за время когерентности называется длиной когерентности.

Пусть волновой пакет немонохроматичен и представляет собой суперпозицию волн с частотами , и волновыми векторами , имеющими одно и то же направление, где

, , , . (7.2)

Известна теорема Фурье, согласно которой любую конечную и интегрируемую функцию (например, напряженность электрического поля в волновом пакете) можно представить в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих с непрерывно изменяющейся частотой:

. (7.3)

Анализ интеграла Фурье (7.3) для волнового пакета позволяет получить простое соотношение между временем когерентности и частотным интервалом в виде:

. (7.4)

Из формулы (7.4) следует, что чем уже интервал частот , т.е. чем выше монохроматичность излучения в волновом пакете, тем больше время когерентности :

Поскольку

, , (7.5)

из (7.4) и (7.5):

(7.6)

Из формулы (5.31) следует, что при интерференции , если

. (7.7)

Очевидно, что не может превышать величины , то есть

(7.8)

Если условие (7.8) будет нарушено, интерференция наблюдаться не будет. Условие (7.8) позволяет оценить величину максимально воз­можного порядка ( ), при интерференции. Из (7.8) (7.7) (7.6) имеем:

(7.9)

Из формулы (7.9) видно, что чем выше монохроматичность, тем боль­ше ( ).