Численное решение уравнений миграции
Принципиальное решение моделей миграции многокомпонентных растворов состоит из 4х частей: 1 часть – Модельное решение уравнения фильтрации; 2 часть – решение уравнения миграции; 3 часть - расчет трансформаций вещества за время ∆t в блоке (равновесное осаждение/растворение, сорбция, ионный обмен. Используются программы термодинамического моделирования (для расчета термодинамических равновесий – Hch))/
4 часть – Трансформация геологической среды – определение количества осевшего минерала, изменения пористости; на основании модели пористой среды и на основании представления процессов растворения и осаждения выбирается переход от изменения в пористости геологической среды к изменению в проницаемости.
Примеры: задачи перестройки структуры проницаемости под действием рассолов, задачи растворения соли, процесс образования карста.
Для численного решения уравнений миграции используются:
1) Прямые методы конечных разностей (явная и неявная схемы решения)
2) Методы расщепления по процессам
Практически все методы построены на расщеплении уравнения миграции по процессам. Все вычисления проводятся в три этапа на один и тот же шаг по времени:
1) конвективный перенос
2) дисперсионный перенос
3) преобразования вещества
При этом возможны перестановки этапов и их комбинации.
Расщепление дифференциальных операторов по процессам
Расщепление уравнения переноса приводит к выражению уравнения конвективного переноса в характеристическом виде. Простое уравнение конвективного переноса вещества с преобразованием
можно представить в виде
Левая часть второго представления уравнения есть полная производная по времени от функции C(x, t)
.
Откуда следует характеристическая форма уравнения [Пасконов и др., 1984]
.
Эта система уравнений показывает поведение элементарной порции раствора, движущейся со скоростью u = v/ne в координатах C t. Построив траекторию частицы воды (линию тока при стационарной течении) можно рассчитать перемещение по ней за шаг по времени с учетом равновесной иммобилизации вещества и изменение концентрации в воде. При численной реализации простая реакция распада первого порядка может быть учтена аналитическим решением.
Методы перемещения частиц (относится к методам расщепления по процессам)
Методы перемещения частиц основаны на решении системы линейных дифференциальных уравнений
Вследствие особенностей организации вычислительного процесса используются методы Рунге-Кутта разных порядков. Наиболее часто применяют методы нулевого, второго и четвертого порядков. Универсальность и точность методов возрастают при увеличении порядка, но вместе с этим возрастает и время счета. Наиболее длительная процедура – определение скорости фильтрации в заданной точке x, y, z.
Метод конечных разностей
Этот метод объединяет первые два шага, а иногда и три, в один и построен на полном конечно-разностном представлении дифференциального уравнения конвективно-дисперсионного переноса с линейными уравнениями преобразований.
Наиболее тонким вопросом является представление члена конвективного переноса, содержащего первую производную по пути. Наилучшие результаты дает производная взятая вверх по потоку (upstream). Существуют две основных схемы решения уравнения: явная и неявная, а также несколько промежуточных явно-неявных. Различия их во временном слое взятия пространственных производных. При явной схеме они берутся на начало шага по времени, а при неявной на конец.
Недостатком является возникновение явления численной дисперсии, не позволяющего точно рассчитать движение фронта вытеснения (при задании в модели дисперсии дисперсивность (параметр) сложится с численной дисперсией). Получается, что происходит решение уравнения микродисперсии с коэффициентом гидродинамической дисперсии линейно зависящим от скорости фильтрации.