Приложение b. Формулы моделей стохастической динамики цены

Показатель неопределённости относительных приращений ценового прогноза, используе­мый в моделях, где время описывается как непрерывный процесс (а именно с такими моделями мы имеем дело в данной подборке статей), имеет на краткосрочном промежутке времени нормальное вероятностное распределение. В модели возврата к среднему диспер­сия изменения цены за промежуток времени от момента s до момента s + s, заложенная в прогнозе цены, относящемся к моменту времени t, равна

2 e – 2 (t – s)∙s

(B-1)

где  – показатель краткосрочной неопределённости относительных приращений ценово­го прогноза, а  – темп снижения неопределённости по мере увеличения прогнозного горизонта. Величина  связана с продолжительностью периода «полураспада» (т.е. сокращения вдвое) начальной неопределённости, T_1/2 , соотношением

 = ln2 / T_1/2.

Модель перманентного шока можно считать частным случаем модели возврата к средне­му, когда выполнено условие  = 0, т.е. когда снижения неопределённости не наблюда­ется. Поэтому в модели перманентного шока величина дисперсии изменения цены за промежуток времени от момента s до момента s + s, заложенная в прогнозе цены, относящемся к моменту времени t, равна

2 s

(B-2)

Во второй статье данной подборки (Bradley 1998) утверждается, что результирующее вероятностное распределение цены имеет логнормальный вид. Оно описывается заданием ожидаемых значений цены (т.е. ценовых прогнозов) и величин ковариаций логарифмов значений цены (которые обычно называются «ассоциированными ковариациями»). В работе (Laughton and Jacoby, 1993) показано, что значение ассоциированной ковариации в модели возврата к среднему, рассчитанное в момент времени s для значений цен в моменты t₁ и t₂ определяется формулой

2/2 ∙ [exp ( – (t1 – t2) ) – exp ( – (t1 + t2 – 2s) )], т.е. .

(B-3)

В случае модели перманентного шока эта формула упрощается к виду

2 ∙ (min (t1, t2) – s)

(B-4)

Если в качестве t₁ и t₂ выбран один и тот же промежуток времени t, то формула ковариации сводится к формуле для определения величины ассоциированной дисперсии, рассчитанной в момент времени s для возможных значений цены в момент времени t. В результате получаем для модели возврата к среднему:

2/2 ∙ (1 – e – 2(t – s)),

(B-5)

а для модели перманентного шока:

2(t – s).

(B-6)

Для того чтобы получить численные результаты, представленные в данной статье, необхо­димо также уметь рассчитывать значения факторов дисконтирования риска для цен с заданными стохастическими параметрами, а также условные ценовые прогнозы и 10-й и 90-й процентные квантили однопеременных ценовых распределений

Фактор дисконтирования риска в момент времени s для цены, относящейся к моменту времени t, в ценовой модели возвращения к среднему с постоянной ценой риска, P_Risk, равен

exp– PRisk (/ ∙ (1 – e – (t – s))].

(B-7)

В случае модели перманентного шока эта формула сводится к виду:

exp– PRisk  ∙ (t – s)]

(B-8)

Остальные формулы будет удобнее представить, изложив предварительно некоторые общие свойства одномерных логнормальных распределений. При анализе ценовой дина­мики зачастую оказывается, что работать с медианными ценовыми прогнозами гораздо удобнее, чем со средними ожидаемыми значениями цены. Медианное значение логнор­мальной переменной, Med [·], связано с математическим ожиданием Е [·] и ассоциирован­ной дисперсией, VAR, соотношением

E [e– ½∙VAR].

(B-9)

90-й и 10-й процентные квантили находятся по формулам

Med [exp (1,282∙VAR½)],	(B-10)
Med [exp [– 1,282∙VAR½)],	(B-11)

где значения 1,282 и –1,282∙являются 90-м и 10-м процентными квантилями стандартного нормального распределения. В работе (Laughton and Jacoby, 1993) показано, что в модели возвращения к среднему условный медианный прогноз в момент времени s, относящийся к значению цены в момент времени t, когда цена в момент времени s равна P, описывается выражением

Medt ∙ [ P/Meds ]exp– (t – s)),

(B-12)

где Med_t означает безусловное медианное значение цены в момент времени t. Обратите внимание на то, что тенденция возвращения к среднему задана показателем степени, в которую возводится «фактор начального сдвига», P/Med_s. При ненулевых значениях  величина этого степенного показателя постепенно убывает от единицы до нуля по мере того, как увеличивается разность t – s, измеряющая время, прошедшее с момента началь­ного ценового сдвига. Как следствие, в очень краткосрочном периоде начальный сдвиг цены полностью отражается в изменившихся прогнозных значениях цены, но в долгосроч­ной перспективе его влияние на прогноз постепенно целиком сходит на нет.

В случае модели перманентного шока формула (В-12) принимает более простой вид:

Medt ∙ [P/Meds]

(B-13)

Обратите внимание на то, что показатель степени, в которую возводится «фактор началь­ного сдвига», P/Med_s, в данном случае равен единице, в результате чего влияние началь­ного сдвига цены оказывается перманентным.

* Senior Consultant, Ernst & Young Management Consultants, 1 100 707 – 7th Avenue SW, Calgary, Alberta, T2P 3H6 Canada.

1 Для определения цен этих рисков используют модели оценки активов, например, простую модель "Capital Asset Pricing Model" (CAPM). Обсуждение CAPM и цены риска см. в разделе 3.4 и Приложении А.

2 Простейшая версия этого принципа лежит в основе аддитивной структуры формулы чистой приведённой стоимости, используемой в расчётах DCF.

3 Выражение «в первом приближении» использовано здесь потому, что в примерах газодобычи из Раздела 4 величины добычи газа и издержек скорректированы с учётом налогов.

4 Описание этого процесса «оценки по компонентам» можно найти в работе Lessard (1979).

5 См. например, расчёты в работе Ibbotsen Associates Inc. (1989).

6 Если будущие безрисковые ставки процента, цены риска газовой цены и значения неопределённости ценового прогноза известны с полной достоверностью и не содержат элемента риска, то значения факторов дисконта, используемых при оценке поставок газа на основе прогнозных значений цены, также известны с полной определённостью. Неопределённость оценки газа для каждого данного периода времени имеет своим единственным источником неопределённность прогнозной цены на газ для этого же периода. Таким образом, по мере того как мы шаг за шагом дисконтируем цену на газ от того момента, когда цена реализуется, до текущего периода, единственный вид риска, который необходимо учитывать при дисконтировании на риск, – это риск, обусловленный неопределённостью прогнозной цены, точно так же, как и в однопериодном случае (Fama 1977).

7 Значение этой ставки дисконта, , в неявном виде задано уравнением: Оценка = _CF × exp (– t).

8 Детали этого расчёта, как и других, используемых в этом разделе, приведены в работе Laughton and Jacoby (1993), а итоговые формулы собраны в Приложении В.