Погрешности косвенных измерений

При косвенных измерениях искомая величина рассматривается как функция одной или нескольких других величин x, y, z, измеряемых непосредственно.

а) Ограничимся вначале функцией одной переменной. Пусть = (x). Например, площадь поперечного сечения проволоки является функцией диаметра .

При измерении величины x (диаметра) будет допущена погрешность, которую вычисляют по формулам (3) и (4). За счет этого полученное значение тоже будет содержать некоторую погрешность . Для оценки погрешности функции удобно пользоваться формулами дифференциального исчисления, из которых следует:

1) абсолютная погрешность функции равна абсолютной погрешности аргумента, умноженной на производную этой функции по этому аргументу: (5)

2) относительная погрешность функции равна абсолютной погрешности аргумента, умноженной на производную от логарифма этой функции по этому аргументу (6)

Заметим, что обе формулы (5) и (6) одновременно использовать не нужно, так как найдя одну из погрешностей (абсолютную или относительную), можно найти другую из соотношения .

Тогда относительная погрешность измерения площади равна:

.

б) Если искомая величина является функцией нескольких переменных = (x,y,z), то погрешность функции состоит из нескольких "частных" погрешностей обусловленных каждой переменной в отдельности. Каждую из "частных" погрешностей находят по формулам (5) или (6), причем при нахождении берется частная производная по x; остальные переменные y и z при этом считают постоянными коэффициентами. Аналогично – для . Все частные производные вычисляют по средним значениям . Погрешности (если это случайные погрешности) должны быть вычислены при одном и том же значении надежности .

Общая абсолютная погрешность функции выражается через "частные" погрешности следующим образом:

(7)

Общую относительную погрешность функции выражают через "частные" относительные погрешности. Например, , тогда , (8)

где α, β и γ – показатели степени x, y, и z.

Формула (7) удобнее, если функция представляет собой сумму, а (8) - если произведение.

в) В некоторых случаях косвенных измерений вычисление случайных погрешностей можно свести к уже рассмотренным способам для прямых измерений. Это бывает, если косвенные измерения произведены несколько раз, но условия измерения невоспроизводимы. Тогда данные прямых измерений нельзя усреднять. Например, определяя скорости пули, мы не можем повторить измерение с одной и той же пулей, а измеряем скорость нескольких пуль. В таких случаях значение функции (скорость пули) вычисляют для каждого отдельного измерения и получают набор значений функции ₁, ₂,..., _n ,где ₁= (x₁,y₁,z₁) и т.д. Полученные значения обрабатывают как при прямых измерениях: находят среднее значение функции , среднюю квадратичную погрешность, коэффициент Стьюдента t и . Этим способом удобно пользоваться, если погрешности приборов значительно меньше случайных погрешностей и ими можно пренебречь. В противном случае нужно найти погрешность по формулам (7) или (8), в зависимости от того, какой функцией является искомая величина.