Механизмы стимулирования в многоэлементных организационных системах - Новиков Д.А., Цветков А.В

зависит от агрегированного1 результата деятельности АС, следует использовать следующий подход – найти множество действий, приводящих к заданному результату деятельности, выделить среди них подмножество, характеризуемое минимальными суммарными затратами АЭ (и, следовательно, минимальными затратами центра

на стимулирование при использовании компенсаторных функций стимулирования), построить систему стимулирования, реализую- щую это подмножество действий, а затем определить - реализация какого из результатов деятельности наиболее выгодна для центра.

Функция дохода центра может зависеть как от действий АЭ, так и от результата деятельности АС. Действия АЭ при этом могут быть наблюдаемы или ненаблюдаемы. Таким образом, получаем следующие четыре возможных варианта (комбинации).

Вариант 1. Действия АЭ наблюдаемы, функция дохода центра зависит от действий АЭ. В этом случае получаем модель S1 или модель S3, причем последняя (как было доказано в разделе 4.3) «эквивалентна» модели S1.

Вариант 2. Действия АЭ наблюдаемы, функция дохода центра зависит только от результата деятельности АС. В этом случае,

~

обозначая H (y) = H(Q(y)), получаем модель S1 или модель S3 (в зависимости от переменных, от которых зависит вознаграждение

АЭ), где целевая функция центра равна Φ(y) = ~ (y) - ϑ(y). Мето-

H

ды решения этого класса задач описаны выше в разделах 4.1 и 4.3. Вариант 3. Действия активных элементов ненаблюдаемы, а

наблюдаем только результат деятельности активной системы в целом, при этом функция дохода центра зависит2 от действий АЭ. Подробно данный вариант рассматривается ниже в разделе 4.7.

1 В теории иерархических игр модели агрегирования исследовались в работах [1, 2].

2 Следует признать, что данная модель представляется достаточно экзотической с содержательной точки зрения, однако полностью исклю-

чать возможность косвенной зависимости дохода центра от действий АЭ нельзя. Например, доход центра от действий АЭ может быть полу- чен в следующем периоде, когда станут известными значения их дейст- вий, а стимулирование должно выплачиваться в текущем периоде на основании наблюдаемого агрегированного результата деятельности.

51

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactor

Вариант 4. Действия активных элементов ненаблюдаемы, а

наблюдаем только результат деятельности активной системы в целом, при этом и функция дохода центра, и вознаграждения АЭ зависят от результата деятельности АС.

Рассмотрим подробно четвертый вариант. Для решения соот-

ветствующей задачи стимулирования может быть использован подход, предложенный в [18, 36] и развиваемый ниже.

Определим Y(z) = {y Î A’ | Q(y) = z} Í A’, z Î A0. Содержа- тельно Y(z) – множество тех действий АЭ, выбор которых приво-

дит к реализации заданного результата их деятельности z Î A0. При

компенсации центром затрат активных элементов минимальные затраты на стимулирование по реализации результата деятельности

равна: F(z) = H(z) - J(z).

На первом шаге решения задачи стимулирования определим множество векторов действий АЭ, приводящих к заданному ре- зультату деятельности и требующих минимальных затрат на сти-

Фиксируем произвольный вектор y*(x) Î Y*(x) Í Y(x), x Î A0. Теорема 4.5.1. При использовании центром системы стимули-

рования

где x Î A0 – параметр (план), множество равновесий Нэша есть EN(s*) = Y*(x), причем система стимулирования (1) реализует ре- зультат деятельности x Î A0 с минимальными суммарными затра- тами центра на стимулирование.

Доказательство. Так как y*(x)ÎY*(x), то y*(x) Î Par(Y(x),{- ci(×)}). Фиксируем произвольный номер i Î I. При фиксированной

обстановке игры выбор действия yi Î Proji Y(x): yi > yi* невыгоден для i-го АЭ, так как при этом его затраты не убывают, а стимули-

52

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactor

рование не изменяется. Выбор действия yi < yi* для него также

невыгоден, так как при этом его затраты убывают, но и стимулиро- вание становится равным нулю (если бы существовало действие i- го АЭ, приводящее к тому же результату деятельности и характе-

ризуемое строго меньшими его затратами, чем yi* , то оно было бы

включено центром во множество Y*(x)). Следовательно, y*(x) – равновесие Нэша. ∙

Отметим, что при доказательстве теоремы 4.5.1 практически не использовалась сепарабельность затрат активных элементов.

Недостатком системы стимулирования (1) является то, что при ее использовании центром, помимо определяемого теоремой 4.5.1 множества равновесий Нэша, существует РДС – вектор нулевых действий. Для того чтобы точки множества Y*(x) были единствен- ными равновесными точками, центр должен за их выбор доплачи- вать АЭ сколь угодно малую, но положительную, величину. По- этому система стимулирования (1) в общем случае является ε- оптимальной.

На втором шаге решения задачи стимулирования найдем наи-

более выгодный для центра результат деятельности коллектива АЭ x* A0 как решение задачи оптимального согласованного планиро-

вания: x* = arg max [H(z) - ϑ(z)], то есть эффективность стимули-

z A0

рования KS5 равна KS5 = Φ(x*), где Φ(z) = H(z) - ϑ(z).

Отметим, что при использовании предложенного подхода для модели S5 существенно предположение о бескоалиционности игры АЭ, так как для некоторой коалиции (но не максимальной коали- ции!) могут существовать вектора действий, доминирующие по Парето вычисленное выше равновесие Нэша, но, действуя некоо- перативно, попасть в точку Парето АЭ не могут. Однако, несмотря на то, что в рассматриваемой модели в общем случае существует несколько равновесий Нэша (доплата за их выбор по сравнению с нулевым действием не всегда выделяет, как это было в моделях S2S4, единственное равновесие), при определении эффективности стимулирования центру не следует брать гарантированный резуль- тат по Y*(x) множеству, так как все точки этого множества для него эквивалентны – все они требуют для своей реализации одинаковых

53

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactor

затрат на стимулирование.

Рассмотрим теперь класс US5 унифицированных систем сти- мулирования в АС с коллективным стимулированием и сепара- бельными затратами. Если индивидуальные действия АЭ наблю- даются или однозначно восстанавливаются центром, то, как отмечалось выше, получаем модель US3, от которой можно перей- ти к US1. Поэтому предположим, что индивидуальные действия ненаблюдаемы для центра.

Обозначим c(y) = max {ci(yi)}, c: A’ → Â1 . Вычислим мини-

i I +

мальные затраты на стимулирование по реализации результата

деятельности z A0: ϑU(z) = min c(y) (так как центр использует

y Y (z)

унифицированную систему стимулирования, то для того, чтобы побудить АЭ выбрать некоторый вектор действий y Y(z), он

должен компенсировать затраты по выбору соответствующих компонент этого вектора всем АЭ).

Множество векторов действий, на которых достигается мини- мум затрат на стимулирование по реализации результата деятель-

где y*(x) – произвольный элемент множества Y*(x), реализует ре- зультат деятельности x A0 с минимальными затратами на стиму- лирование1. Отметим, что при этом может оказаться, что EN(σ) Y*(x), то есть не всякий элемент y*(x) множества Y*(x) есть равнове- сие Нэша (в отличие от персонифицированного стимулирования – см. теорему 4.5.1). С точки зрения эффективности стимулирования

1 Для того чтобы исключить выбор АЭ нулевых действий при использо- вании унифицированных систем стимулирования в модели S5 следует

доплачивать за выбор ненулевых действий строго положительную величину не всем АЭ, а только активным элементам, принадлежащим

множеству Arg max {ci(yi)}. i I

54

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactor

этот факт не имеет значения, так как суммарные затраты центра на стимулирование одинаковы на всем множестве Y*(x).

На втором шаге решения задачи синтеза оптимальной унифи- цированной системы коллективного стимулирования найдем наи-

более выгодный для центра результат деятельности коллектива АЭ xU* как решение задачи оптимального согласованного планирова-

Потери центра от использования унифицированного стимули-

рования по сравнению с персонифицированным стимулированием в модели S5 зависят от минимальных затрат на стимулирование:

Рассмотрим пример, иллюстрирующий использование пред-

ложенного подхода к решению задач стимулирования в моделях типа S5.

Минимальные затраты на стимулирование по реализации результа- та деятельности x A0 равны ϑ(x) = x2/2W. Вычисляя максимум

целевой функции центра: max [H(x) - ϑ(x)], находим оптимальный

x³0

план: x* = W и оптимальную систему стимулирования:

При этом эффективность стимулирования (значение целевой функции центра) равна KS5 = W / 2.

55

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactor

Пусть теперь в рамках рассматриваемого примера центр дол- жен использовать унифицированную систему стимулирования.

затраты на стимулирование равны JU(z) = z2 / 2nrj. Оптимальный план xU* = n rj дает значение эффективности KUS5 = n rj / 2. Видно,

что KUS5 £ KS5, причем равенство имеет место в случае одинаковых активных элементов. ∙

4.6. МОДЕЛЬ S6: СТИМУЛИРОВАНИЕ АЭ ЗАВИСИТ ОТ РЕЗУЛЬТАТА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ АС,

ЗАТРАТЫ НЕ СЕПАРАБЕЛЬНЫ

Модель S6, в которой при несепарабельных затратах активных

элементов их индивидуальные вознаграждения зависят только от результата их деятельности, чрезвычайно близка (с точки зрения подходов и результатов решения задачи стимулирования) к модели S5, отличающейся лишь сепарабельностью затрат.

Действительно, если действия активных элементов наблюда- ются или могут быть однозначно восстановлены центром, то мо- дель S6 переходит в модель S4, рассмотренную выше в разделе 4.4. Если действия АЭ ненаблюдаемы, то используем подход, предло- женный в разделе 4.5, то есть определим для каждого результата деятельности множество действий, приводящих к его реализации, вычислим минимальные затраты и т.д. Опишем эту последователь- ность формально.

Равновесный по Нэшу вектор действий АЭ yN определяется следующим образом:

" i Î I " yi Î Ai si(Q(yN)) – ci(yN) ³ si(Q(yi, y−Ni )) – ci(yi, y−Ni ).

Определим Y(z) = {y Î A’ | Q(y) = z} Í A’, z Î A0. При компен-

сации центром затрат активных элементов минимальные затраты на стимулирование по реализации результата деятельности z Î A0

n

равны: J(z) = min å ci(y).

y Y (z) i=1

56

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactor

На первом шаге решения задачи стимулирования определим множество векторов действий АЭ, приводящих к заданному ре- зультату деятельности и требующих минимальных затрат на сти-

Фиксируем произвольный вектор y*(z) Î Y*(z) Í Y(z).

Теорема 4.6.1. Если "xÎA0 "yiÎProji Y(x) "j¹i "y-iÎProj-i Y(x) cj(yi, y-i) не возрастает по yi, то при использовании центром системы

стимулирования

где x Î A0 – параметр (план), результат деятельности x Î A0 реали- зуется с минимальными затратами центра на стимулирование.

Доказательство теоремы 4.6.1 повторяет доказательство тео- ремы 4.5.1 и не приводится.

На втором шаге решения задачи стимулирования найдем наи-

более выгодный для центра результат деятельности коллектива АЭ x* Î A0 как решение задачи оптимального согласованного планиро-

вания: x* = arg max [H(z) - J(z)].

z A0

Рассмотрим теперь класс US6 унифицированных систем сти- мулирования в АС с коллективным стимулированием и несепара- бельными затратами. Если индивидуальные действия АЭ наблю- даются или однозначно восстанавливаются центром, то, как отмечалось выше, получаем модель US4, от которой можно перей- ти к US1 (см. раздел 4.4). Поэтому предположим, что индивиду- альные действия ненаблюдаемы для центра.

Обозначим c: A’ ® Â1+

(2) c(y) = max {ci(y)}.

i I

Вычислим минимальные затраты на стимулирование по реали-

зации результата деятельности z Î A0: JU(z) = n min c(y). Вектор

y Y (z)

действий, минимизирующий затраты на стимулирование по реали- зации результата деятельности z Î A0, определяется следующим

57

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactor

где y*(x) – произвольный элемент множества Y*(x), реализует ре- зультат деятельности x Î A0 с минимальными затратами на стиму- лирование (как и в разделе 4.5, для того чтобы исключить выбор АЭ нулевых действий при использовании унифицированных сис- тем стимулирования центру следует доплачивать за выбор ненуле-

вых действий строго положительную величину АЭ из множества

Arg max {ci(y)}).

i I

На втором шаге решения задачи синтеза оптимальной унифи- цированной коллективной системы стимулирования найдем наибо-

лее выгодный для центра результат деятельности коллектива АЭ

Теорема 4.6.2. В модели S6 эффективность унифицированного стимулирования не выше, чем эффективность персонифицирован- ного стимулирования.

Доказательство. Фиксируем произвольный результат деятель- ности. Реализующая его унифицированная система стимулирова- ния (3) в силу (2) характеризуется не меньшими суммарными затратами на стимулирование со стороны центра, чем система персонифицированная стимулирования (1). По теореме о мини- мальных затратах на стимулирование получаем, что KS6 ³ KUS6. ∙

Потери центра от использования унифицированного стимули-

рования по сравнению с персонифицированным стимулированием в модели S6 зависят от минимальных затрат на стимулирование:

Рассмотрим пример, иллюстрирующий использование пред-

ложенного подхода к решению задач стимулирования в моделях типа S6.

58

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactor

Пример 8. Пусть в АС, состоящей из n = 2 АЭ функции затрат

где W = r1 + r2. Минимальные затраты на стимулирование по реа- лизации результата деятельности x A0 равны ϑ(x) = x2(1+α2)/2W.

Вычисляя максимум целевой функции центра: max [H(x) - ϑ(x)],

x³0

находим оптимальный план: x* = W / (1+α2) и оптимальную систе- му стимулирования:

При этом эффективность стимулирования (значение целевой функции центра) равна KS6 = W/2(1+α)2. ∙

4.7. МОДЕЛИ S7 И S8: СТИМУЛИРОВАНИЕ АЭ ЗАВИСИТ ОТ ДЕЙСТВИЙ АЭ И РЕЗУЛЬТАТА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ АС,

ЗАТРАТЫ СЕПАРАБЕЛЬНЫ ИЛИ НЕСЕПАРАБЕЛЬНЫ

Стимулирование конкретного активного элемента может ос- новываться непосредственно на его действии и/или действиях других АЭ только в том случае, если эти действия наблюдаются центром. Если действия наблюдаемы, то, как показано в разделах 4.5 и 4.6, стимулирование на основании результата деятельности не повышает эффективности управления1.

1 См. четыре варианта в разделе 4.5.

59

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactor

Если же действия ненаблюдаемы, но наблюдаем агрегирован- ный результат деятельности, то стимулирование активного элемен-

та непосредственно на основании его индивидуальных действий или действий остальных АЭ невозможно. Поэтому модели S7 и S8 в некотором смысле внутренне противоречивы. Если действия всех АЭ наблюдаемы, то модель S7 переходит в модель S3 (а модель S8 - в модель S4). Если действия ненаблюдаемы, то модель S7 перехо- дит в модель S5 (а модель S8 – в модель S6).

Здесь же (при обсуждении моделей S7 и S8) уместно сравнить оценки эффективности индивидуального и коллективного стиму- лирования. Представим себе следующую ситуацию. Пусть центр должен стимулировать АЭ на основании скалярного (агрегирован- ного) результата деятельности коллектива АЭ.

Если выбор процедуры агрегирования, то есть отображения Q: A’ → A0, является прерогативой центра, то задача заключается в определении оптимальной (в рамках имеющейся у центра инфор- мации) процедуры агрегирования, то есть процедуры, при исполь-

зовании которой потери в эффективности были бы минимальны по сравнению со случаем полностью наблюдаемых действий АЭ и использования центром индивидуального стимулирования.

Рассмотрим следующую модель. Пусть выполнено предполо-

жение

А5. A’ и A0 m – компактные множества; Q: A’ → A0 – не- прерывное однозначное отображение, такое что: z A0 y A’:

Q(y) = z и y A’ Q(y) A0.

Пусть функция дохода центра – H(z), то есть зависит от ре- зультата деятельности АС. Рассмотрим два случая. Первый случай - когда действия АЭ наблюдаемы, и центр может основывать сти- мулирование как на действиях АЭ, так и на результате деятельно- сти. Второй случай, когда действия АЭ ненаблюдаемы, и стимули-

рование может зависеть только от наблюдаемого результата деятельности. Сравним эффективности стимулирования для этих двух случаев.

В первом случае минимальные затраты на стимулирование равны (в общем случае будем считать, что затраты несепарабельны

60

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.pdffactor