22. Модели авторегрессии и их использование в прогнозировании.

При построении моделей авторегрессии используется обычный регрессионный метод, но при этом в качестве переменного фактора принимаются уровни динамического ряда, взятые с определенным лагом. Величина лага может быть определена исходя из максимальных коэффициентов автокорреляции уравнений одного и того же динамического ряда.

Параметры уравнения авторегрессии определяются либо МНК, либо с помощью коэффициентов автокорреляции. Важным этапом при построении уравнения авторегрессии является определение ее порядка, т.е. величины лага, который фиксирует через какое кол-во интервалов времени изменение уравнения в один период влияет на его уравнение в другой период.

Интерпретация параметров модели авторегрессии имеет свою специфику

b₀ – краткосрочное изменение у под воздействием х на единицу к моменту времени t-1. у изменяется под влиянием х в момент t на b₀ единиц, а у_t+1 – под воздействием своего изменения на с₁ единиц, следовательно общее изменение у в момент времени t+1 равно b₀*c₁ единиц, аналогично в момент времени t+2 у изменится на b₀*c₁² и т.д.

Следовательно долгосрочный мультипликатор равен сумме краткосрочного и промежуточного мультипликаторов:

Учитывая, что в модель авторегресси вводится условие , то , такая интерпретация параметров м.б. основана на предпосылке о наличие бесконечного лага, в воздействии текущего значения у на ее будущее значение.

При оценке параметров модели авторегрессии возникают сложности, связанные с наличием лаговых эндогенных переменных в правой части модели. Это нарушает предпосылки МНК об отсутствии связи между y_t и остатками обычный МНК дает смещенные оценки параметров при лаговых переменных. Для устранения этих ошибок при МНК имеется метод инструментальных переменных. Его смысл заключается в том, чтобы заменить лаговую эндогенную переменную, для которой нарушаются предпосылки МНК, на новую переменную. Инструментальная переменная вводится вместо лаговой эндогенной:

Предположим, что обычным МНК получено уравнение. с₁ – смещенная оценка, следовательно заменим y_t-1 на новую переменную учитывая, что y_t зависит не только от y_t-1, но от х_t, сле6довательно можно предположить, что y_t-1 зависит от х_t-1. Предположим, что это линейная зависимость, следовательно

Подставляем в

Применим МНК к

Расчетная переменная y_t-1 тесно коррелирует с y_t-1 и представляет линейную комбинацию переменной х_t-1, для которой не нарушается предпосылка МНК об отсутствии зависимости между остатками модели регрессии и объясняющими переменными.

Можно оценивать параметры авторегрессии методом максимального правдоподобия.

Уравнения авторегрессии используются для прогнозирования. Точечный прогноз может быть получен путем подстановки значений уравнений ряда за предыдущие годы в уравнение авторегрессии.

Авторегрессия может быть применима в отношении уравнений динамического ряда, по их отклонениям от общей тенденции. Для этого сначала определяется тренд для исходного ряда и на его основе остаточные величины: E_i = y_i – ý₀. Эти остаточные величины и служат исходной информацией для авторегрессионного прогноза.

Строится уравнение авторегрессии с лагом в 1 год для остаточных величин: y_i = a + b₁ E_i-1. Чтобы дать прогноз на следующий год сначала нужно найти прогноз тренда. Затем нужно сделать прогноз по уравнению авторегрессии. Далее суммарный прогноз равен прогнозу по тренду + прогноз по авторегрессии.