§7. Дії з алгебраїчними виразами
▼ 51. І Пригадайте, які математичні вирази називаються алгебраїчними, які з них мають назву одночленів та многочленів; що вам відомо про стандартний вид одночлена, його степінь, подібні одночлени; яким є многочлен стандартного виду і як визначити його степінь; правила за якими виконуються додавання і віднімання многочленів; множення одночлена на многочлен; множення многочленів.
ІІ Перевірте свої відповіді за наведеним нижче теоретичним матеріалом
Алгебраїчні вирази – це математичні вирази, що складаються з чисел і змінних за допомогою знаків додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до раціонального степеня, добування кореня і за допомогою дужок.
Одночлен
– це вираз, який може містити тільки
дві дії: множення змінних і чисел і
піднесення змінних до невід’ємного
цілого степеня. Приклади одночленів:
-9;
;
,
.
Тут -9, 6, 5, 3 – це числові
коефіцієнти.
Стандартним
видом одночлена
називається одночлен, у якого числовий
коефіцієнт стоїть на першому місці, а
добуток однакових множників записаний
у вигляді степеня. Так, наприклад,
.
Степенем
одночлена стандартного виду
називається сума показників степенів
змінних. Наприклад, 17 – одночлен нульового
степеня;
- одночлен першого степеня;
- одночлен восьмого степеня.
Подібними
одночленами
називаються одночлени, які мають однакові
буквені вирази. Наприклад,
,
,
- подібні одночлени.
Звести подібні члени – це значить додати їх числові коефіцієнти і результат помножити на спільний буквений вираз.
Многочленом
називається алгебраїчна сума одночленів.
Приклади многочленів:
;
;
.
Многочленом стандартного виду називається такий многочлен, у якого всі одночлени записані в стандартному вигляді і зведені подібні члени. Наприклад, - многочлен стандартного вигляду.
Степенем многочлена стандартного виду називається найбільша степінь одночлена, що входить у цей многочлен. Наприклад, - многочлен восьмого степеня.
Для того, щоб перетворити суму або різницю многочлена на многочлен стандартного виду, необхідно розкрити дужки і звести подібні члени (доданки).
Правило розкриття дужок
Якщо
перед дужками стоїть знак «+», то
розкриваючи дужки, потрібно зберегти
знак кожного доданка суми, взятої в
дужки. Якщо перед дужками стоїть знак
«-«, то, розкриваючи дужки, потрібно
знаки доданків змінити на протилежні.
Наприклад,
Щоб помножити многочлен на многочлен, треба кожний член першого многочлена помножити на кожний член другого і отримані добутки додати. При множенні виразів потрібно пам’ятати правила знаків, а саме:
52. Зведіть вирази до многочленів стандартного виду:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
● 53
Для
перетворення (спрощення) алгебраїчних
виразів застосовують формули скороченого
множення:
.
Ці формули можна застосовувати, читаючи їх як зліва направо, так і навпаки – справа наліво.
54. Перетворити на многочлени стандартного виду наступні вирази:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
.
● 55. Розкладанням многочлена на множники називається перетворення многочлена в добуток двох або декількох многочленів, серед яких можуть бути й одночлени. Існує чотири основних способи розкладання многочлена на множники.
Перший спосіб. Винесення спільного множника за дужки. Наприклад,
.
Другий спосіб. Спосіб групування, який полягає у поєднанні в групи тих членів, які мають спільні множники, і винесенні за дужки спільного множника кожної з груп. Якщо після такого перетворення виявиться спільний множник у всіх утворених груп, то його виносять за дужки. Наприклад,
.
Третій спосіб. Застосування формул скороченого множення. Наприклад,
.
Четвертий
спосіб.
Розкладання квадратного тричлена на
множники, якщо відомі його корені.
Забігаючи наперед, зазначимо, що якщо
квадратний тричлен
має дійсні корені
і
,
то він може бути розкладений на лінійні
множники в такий спосіб:
.
56. Розкласти многочлени на множники:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
’
10)
.
● 57. Цілими раціональними виразами називаються всі числові вирази, а також вирази зі змінними, які можуть містити дії додавання, віднімання, піднесення до натурального степеня.
Дробовими раціональними виразами (дробово-раціональними виразами) називаються вирази зі змінними, які містити дії додавання, віднімання, множення, піднесення до натурального степеня і ділення на вирази зі змінними.
Раціональним
(алгебраїчним) дробом називається
вираз
,
де
і
- раціональні вирази, причому
обов’язково містить змінні.
Скоротити раціональний дріб – це значить поділити чисельник і знаменник дробу на спільний множник. Можливість подібного скорочення обумовлена основною властивістю дробу.
Для
того щоб скоротити раціональний дріб,
потрібно спробувати розкласти на
множники його чисельник і знаменник.
Якщо чисельник і знаменник мають спільні
множники, то дріб можна скоротити. Якщо
спільних множників немає, то перетворення
дробу за допомогою скорочення неможливо.
Наприклад, скоротимо дріб:
.
Спільним знаменником двох або декількох раціональних дробів називається цілий раціональний вираз, який ділиться на знаменник кожного дробу.
Для того щоб кілька раціональних дробів звести до спільного знаменника, необхідно:
розкласти знаменник кожного дробу на множники, якщо це можливо;
скласти найменший спільний знаменник, включивши до нього як співмножники всі різноманітні множники, отримані в пункті 1); якщо деякий множник є в кількох розкладеннях, то він береться з показником степеня, що дорівнює найбільшому з наявних;
визначити додаткові множники для кожного з дробів, для чого спільний знаменник поділити на знаменник кожного дробу;
помножити чисельник і знаменник кожного дробу на додатковий множник.
Сума
(різниця) двох
раціональних дробів з однаковими
знаменниками тотожно
дорівнює дробу з тим же знаменником і
з чисельником, що дорівнює сумі (різниці)
чисельників початкових дробів:
.
При
додаванні (або відніманні) раціональних
дробів з різними
знаменниками потрібно
звести дроби до спільного знаменника
і виконати додавання (або віднімання)
дробів із спільним знаменником.
Наприклад,
.
Добуток
двох раціональних дробів тотожно
дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює
добутку чисельників, а знаменник –
добутку знаменників дробів, що
перемножуються:
.Це
правило розповсюджується на добуток
будь-якого скінченого числа дробів.
Частка від ділення двох раціональних дробів тотожно дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює добутку чисельника першого дробу і знаменника другого дробу, а знаменник – добутку знаменника першого дробу і чисельника
другого
дробу:
.
Якщо дріб множиться або ділиться не на
дріб, а на многочлен
,
то зазначені вище правила залишаються
дійсними, але многочлен
необхідно зобразити у вигляді
.
На практиці при множенні або діленні
раціональних дробів звичайно попередньо
на множники чисельники і знаменники
початкових дробів (якщо це можливо).
58. Скоротіть дробі:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
59. Виконайте дії з раціональними дробами:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
.
60. Спростить вирази:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
До змiсту