§ 17 Границя функції
Якщо
при наближенні аргументу
до точки
з будь якого боку, значення функції
наближається
до одного й того самого числа
,
то кажуть, що функція
в точці
має границю,
яка дорівнює
, і це записується так:
або
при
.
Основні табличні границі
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Основні теореми про границі
Якщо функція має границю при
,
то ця границя єдина.Границя суми (різниці) двох функцій дорівнює сумі (різниці) границь цих функцій, при умові, що границі доданків існують
.
Границя добутку двох функцій дорівнює добутку границь цих функцій, якщо границі множників існують
.
Постійний множник можна виносити за знак границі
.
Границя частки двох функцій дорівнює частці границь цих функцій, якщо границі чисельника і знаменника існують і границя знаменника не дорівнює нулю
.
Особливі границі
;
.
Використовуючи графіки функцій (рис. 22), з’ясувати:
Рис. 22
Чи має границю функція в точці , що прямує до 2? Якщо має, то чому дорівнює ця границя?
Чи залежить існування границі функції в точці від визначеності функції в цій точці?
Якщо функція визначена в точці, то чи завжди границя функції дорівнює значенню функції в цій точці?
Відомо, що
;
.
Знайти границі:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
134. Обчислити границі:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;
11)
;
12)
;
13)
;
14)
;
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
21)
;
22)
;
23)
;
24)
;
25)
;
26)
;
27)
;
28)
;
29)
;
30)
;
31)
;
32)
;
33)*
; 34)*
;
35)*
;
36)*
.
До змiсту
§ 18 Неперервність функції
135. Використовуючи графіки функцій (рис. 23) указати точки розриву функцій і назвати проміжки неперервності:
Рис. 23
Функція називається неперервною в точці , якщо існує границя функції в цій точці і вона дорівнює значенню функції в точці .
Отже, функція в точці буде неперервною тоді і тільки тоді, коли виконуються такі умови:
функція визначена в точці ;
для функції існує границя
;границя функції в точці дорівнює значенню функції в цій точці:
.
Якщо функція неперервна в кожній точці деякого проміжку, то її називають неперервною на проміжку.