Тема 8. Деление с остатком Контрольные вопросы по теории

1. Дайте определение деления с остатком.

2. Сформулируйте и докажите теорему о существовании и единственности неполного частного и остатка.

3. Сформулируйте и докажите достаточное условие существования частного натуральных чисел.

4. Объясните теоретико-множественный смысл деления с остатком.

Практические задания

1. Разделите с остатком: 37 на 5, 32 на 7, 3 на 14 и выполните проверку.

2. Какие остатки могут быть получены при делении числа на 4? на 7?

3. Какой вид имеют числа, при делении которых на 3 получается остаток, равный 2?

4. Какой вид имеет число а, если при делении на 6 оно дает в остатке: а) 2; б) 4; в) 0. Какие еще остатки могут получиться при делении числа а на 6?

5. Разбейте множество натуральных чисел от 5 до 23 на классы чисел, дающих одинаковые остатки при делении на 4?

6. Укажите неполное частное и остаток при делении: а) 24 на 39; б) 16293 на 476.

7. Найдите число, при делении которого на 1236 получается неполное частное 524 и остаток 683.

8. При делении с остатком числа a на 15 получили неполное частное 10. Каково наибольшее возможное значение делимого?

9. При делении с остатком числа 100 на натуральное число b получили остаток, равный 6. Найдите число b.

10. По делимому а и остатку r найдите неполное частное и делитель b, если:

а) а = 100, r = 6;

б) а = 47, r = 5;

в) а = 497, r = 16.

11. По делимому а и неполному частному q найдите делитель b и остаток r, если:

а) а = 371, q = 14;

б) а = 3129, q = 82;

в) а = 13127, q = 121;

г) а = 42157, q = 231.

12. На сколько классов разбивается множество N при помощи отношения: а) «иметь один и тот же остаток при делении на 2»; б) «иметь один и тот же остаток при делении на 7»? Почему возможно такое разбиение? Назовите по одному представителю из каждого класса разбиения множества N в случае б).

13. Разбейте множество натуральных чисел от 5 до 27 на классы чисел, дающих одинаковые остатки при делении на 5. Сколько классов получилось?

14. А – множество чисел, которые при делении на 4 в остатке дают 3 или 1, В – множество чисел, которые при делении на 2 дают в остатке 1. Докажите, что А = В.

15. При делении чисел а, b и с на 7 получаются остатки 1, 4 и 5 соответственно. Какой остаток при делении на 7 дает сумма а + b + с?

16. При делении на 7 чисел а и b получаются остатки 3 и 2. Какой остаток при делении на 7 дает произведение а · b?

17. При делении чисел а и b на 8 получается один и тот же остаток 7. Какой остаток получится при делении на 8 числа:

а) а + b; б) а – b; в) а · b.

18. Одно число на 62 больше другого. При делении одного из них на другое с остатком получается 5 и в остатке 6. Найдите эти числа.

19. Обоснуйте с теоретико-множественной позиции выбор действия при решении задачи. «В мастерской было 7 колес для велосипедов. При ремонте поставили на каждый велосипед по 2 колеса. На сколько велосипедов поставили колеса, и сколько колес осталось в мастерской?»

20. Приведите примеры заданий из учебников математики для начальных классов, при выполнении которых учащиеся выполняют деление с остатком.

21. Каким образом рассматривают деление с остатком в начальных классах.

22. Известно, что а = b · q + 17. Одно из чисел а, b или q равно 13. Какое?

23. Назовите три натуральных числа, которые при делении на 2 дают в остатке 1. Как называются эти числа и каков их общий вид?

24. Задачу «Запиши 3 числа, при делении которых на 7 в остатке получается 1, и 3 числа, при делении которых на 8 в остатке получается 5» учащийся решил способом подбора. Запишите формулы для получения различных чисел указанных видов.