Тема 7. Деление на множестве целых неотрицательных чисел Контрольные вопросы по теории

1. Дайте определение операции деления целого неотрицательного числа на натуральное.

2. Сформулируйте необходимое условие существования частного натуральных чисел и докажите его.

3. Докажите, что если частное существует, то оно единственно.

4. Докажите невозможность деления на нуль.

5. Что представляет собой частное натуральных чисел а и b с теоретико-множественных позиций?

6. Обоснуйте с теоретико-множественных позиций связь между делением и умножением.

7. Сформулируйте правила деления суммы, разности и произведения на число.

Практические задания

1. Используя определение деления, найдите значения выражений: а) 9 : 3; б) 7 : 7; в) 5 : 1.

2. Из учебников по математике для начальных классов приведите примеры двух заданий, при выполнении которых используется условие существования частного натуральных чисел.

3. Дайте теоретико-множественное истолкование следующим равенствам: а) 6 : 3 = 2; б) 4 : 4 = 1; в) 3 : 1 = 3.

4. Из учебников математики для начальных классов приведите примеры нескольких простых задач, при решении которых раскрывается теоретико-множественный смысл частного.

5. Выделите в учебнике по математике для начальной школы задание, в котором дается определение операции деления натуральных чисел. Сравните его с определением операции умножения натуральных чисел.

6. Дано множество А = {(10; 2); (5; 5); (0; 37); (100; 1); (0; 100000)} и множество В = {0; 1; 5; 1000}. Между ними задано отношение: паре (а, b) поставлено в соответствие частное а : b. Постройте граф этого отношения.

7. В учебнике по математике для начальных классов приведено правило: «Деление можно проверить умножением. 78 : 3 = 26. Для проверки умножим полученное частное на делитель: 26 ∙ 3 = 78. Получилось делимое». Дайте теоретическое обоснование этого правила.

8. Найдите в учебниках математики для начальной школы задания, в которых раскрывается связь между действиями умножения и деления. Покажите применение знаний этой связи при изучении арифметического материала в начальном курсе математики.

9. Приведите примеры заданий отражающих зависимость между компонентами и результатом действия деления.

10. Заполни таблицу:

    	Делимое	Делитель	Частное
    1.	 2	 4	?
    2.	: 6	: 3	?
    3.	 4	: 12	?
    4.	: 5	 10	?
    5.	 2	?	: 18
    6.	: 8	?	 4

11. На основании зависимости между компонентами и результатом действия найдите множество целых неотрицательных корней уравнений:

а) х ∙ 5 = 0;

б) 10 : х = 0;

в) х : 10 = 10;

г) х ∙ 5 = 15;

д) 15 : х =2;

е) х : 15 = 2.

Приведите примеры рассуждения ученика при решении уравнений.

12. Решите задачи и объясните в терминах теории множеств, почему задача а) решается умножением, а задачи б), в) – делением.

а) Для украшения елки каждый из пяти ребят сделал 4 игрушки. Сколько всего игрушек изготовили ребята?

б) Мама раздала детям 12 слив, по 4 сливы каждому. Сколько детей получили сливы?

в) 8 морковок раздали 4 кроликам поровну. Сколько морковок дали каждому кролику?

13. Сформулируйте правила деления суммы, разности и произведения на число. Приведите на каждое правило по два примера его использования в начальном курсе математики.

14. Вычислите различными способами значения выражений:

а) (390 + 39) : 13;

б) (740 + 37) : 37;

в) (64 ∙ 32) : 8;

г) 1470 : (147 : 3);

д) (225 ∙ 5 ∙ 3) : 15;

е) 20 ∙ (30 : 5);

ж) (270 ∙ (135 : 27);

з) (220 : 11) ∙ 5.

Подчеркните удобный способ. Обоснуйте ответ.

15. Можно ли утверждать, что все данные равенства верные:

а) 48 : (2 ∙ 4 )= 48 : 2 : 4;

б) 56 : (2 ∙ 7) = 56 : 7 : 2;

в) 850 : 170= 850 : 10 : 17.

Какое правило является обобщением данных случаев? Сформулируйте его и докажите.

16. Не выполняя деления уголком, найдите наиболее рациональным способом частное; выбранный способ обоснуйте:

а) 495 : 15;

б) 425 : 85;

в) 455 : 7;

г) 225 : 9;

д) 275 : 55;

е) 455 : 65.

17. Сравните выражения, не производя вычислений:

а) 560 : (7 ∙ 4) и 560 : 7 : 4;

б) 240 : (3 ∙ 5) и 240 : 3 : 5;

в) 32 ∙ (10 ∙ 2) и 32 ∙ 10 + 32 ∙ 2;

г) 56 ∙ 10 ∙ 4 и 56 ∙14;

д) 12 ∙ (60 : 15) и 12 ∙ 60 : 15.

18. Какое правило является обобщением различных арифметических способов решения задачи:

а) В коробке лежало 12 зеленых и 20 красных хлопушек. Все хлопушки раздали детям, по 4 каждому. Сколько ребят получили хлопушки?

б) В лапту играли 8 девочек и 6 мальчиков. Они разделились на 2 команды. Сколько человек было в каждой команде?

19. Решите задачу разными способами: «В лапту играли 14 девочек и 12 мальчиков. Они разделились на 2 команды. Сколько человек было в каждой команде?»

20. Обладает ли деление коммутативностью, ассоциативностью?

21. Выполните действия:

а) (605929 + 1729000 : (248 + (333333 ∙ 18 – 59994) ∙ (99 ∙ 125))) : 304;

б) (29945160 : (317259 – 13 ∙ (30001 – 11989) – 67259) ∙ 2048 – – 23622208) : 1504.

22. Объясните смысл предложения:

а) 12 больше 6 в 2 раза;

б) 3 меньше 12 в 4 раз;

в) 2 меньше 8 в 4 раза.

23. Назовите отношения, которые рассматриваются в задачах. Решите задачи арифметическим методом, выбор действий обоснуйте.

а) Для украшения елки девочка вырезала 4 звездочки, а флажков в 3 раза больше. Сколько флажков вырезала девочка?

б) На участке растут 4 груши, их в 2 раза меньше, чем яблонь. Сколько яблонь растет на участке?

в) У Оли 6 красных шариков, а синих в 3 раза меньше. Сколько синих шариков у Оли?

г) Коля купил 8 тетрадей в клетку и 4 тетради в линию. Во сколько раз больше было куплено тетрадей в клетку?

24. Решите задачи. Выбор действия обоснуйте.

а) У Коли в 4 раза больше открыток, чем у Вовы. А у Лены их на 20 меньше, чем у Коли. Сколько открыток у Лены, если у Вовы их 7?

б) Миша поймал 48 окуней, Саша – на 6 меньше, чем Миша, а Коля – в 7 раз меньше, чем Саша. Сколько окуней поймали все мальчики?

в) Катя в пять раз моложе папы, а ему 45 лет. На сколько лет Катя моложе своего папы?