Тема 5. Вычитание на множестве целых неотрицательных чисел Контрольные вопросы по теории
Сформулируйте определение операции вычитания целых неотрицательных чисел.
Дайте теоретико-множественное истолкование разности двух целых неотрицательных чисел.
Сформулируйте условие существования разности целых неотрицательных чисел и докажите его.
Практические задания
Пользуясь аксиоматическим определением вычитания, найдите значения выражений: а) 7 – 5; б) 3 – 3; в) 4 – 0.
Приведите примеры двух заданий из учебника по математике для начальных классов, при выполнении которых используется условие существования разности целых неотрицательных чисел.
Даны множества А = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} и В = {1; 3}.
а)
Найдите множество
.
б) Изобразите при помощи кругов Эйлера множества А, В, .
в)
Истинно ли равенство
?
Почему?
г)
Истинно ли равенство n
(B)
+
Объясните с теоретико-множественной точки зрения смысл равенств: а) 8 – 3 = 5; б) 4 – 4 = 0; в) 3 – 0 = 3.
Из учебников математики для начальных классов приведите примеры заданий, при выполнении которых используются: а) определение разности через дополнение подмножества; б) определение разности через сумму.
Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются при помощи вычитания:
а) У пруда росло 9 осин. 4 осины спилили. Сколько осин осталось у пруда?
б) Вова и Лида нарисовали 9 домиков. Лида нарисовала 4 домика. Сколько домиков нарисовал Вова?
Составьте задачу, в которой нужно найти число элементов дополнения одного множества до другого. Каким действием решается составленная задача? Почему?
Может ли разность целых неотрицательных чисел быть равной: а) уменьшаемому; б) вычитаемому; в) нулю? Что можно сказать о разности натуральных чисел?
Обладает ли операция вычитания целых неотрицательных чисел свойством коммутативности? Свойством ассоциативности?
Запишите, используя символы, правила связывающие сложение и вычитание. Дайте их теоретико-множественную трактовку. Приведите примеры использования этих правил в начальном курсе математики.
В учебнике по математике для начальной школы приведено правило: «Для проверки вычитания к разности прибавляют вычитаемое. Если решение правильное, то получится уменьшаемое». Каково теоретическое обоснование этого правила?
На основании зависимости между компонентами и результатом действия найдите множество целых неотрицательных корней уравнения:
а) 43 – х = 20;
б) 20 – х = 43;
в) х – 20 = 43;
г) х – 43 = 20.
Дайте теоретико-множественное истолкование правил: а) вычитание числа из суммы; б) вычитание суммы из числа. Проиллюстрируйте их с помощью кругов Эйлера.
Какими способами можно найти разность:
а) 11– (3 + 1); б) (7 + 8) – 5?
Какие свойства вычитания являются теоретической основой следующих приемов вычислений, изучаемых в начальном курсе математики:
а) 48 – 30 = (40 +8) – 30 = 10 + 8 = 18;
б) 42 – 5 = 42 – (2 + 3) = 40 – 3 = 37.
Можно ли, не выполняя вычислений сказать, значения каких выражений будут равны:
а) 50 – (16 +14);
б) (50 – 16) + 14;
в) (50 – 16) –14;
г) (50 – 14) +16;
д) (50 – 14) –16;
е) 50 – 16 –1 4;
ж) (50 +16) –14;
з) 50 + (16 –14);
и) 50 – (16 –14);
к) 50 + 14 – 16.
Объясните, на основе каких теоретических положений можно выполнить следующие преобразования:
а) (7 + 5) – (3 + 4) = (7 – 3) + (5 – 4) = 4 + 1 = 5;
б) (7 + 5) – (3 + 4) = (7 – 4) + (5 – 3) = 3 + 2 =5.
Вычислите устно, давая обоснование примененных приемов:
а) (458 + 1257) – 657;
б) 878 + (122 –81);
в) (1459 –743) +343;
г) 2944 – (2523 – 1056);
д) 5331 – (597 + 4331);
е) (2583 – 694) – 1306;
ж) 657 –353 –257;
з) 1423 +889 –723;
и) 607 – 359;
к) 597 – 429.
Вычислить рациональным способом:
а) (37891 – 1576) + 1109;
б) 56877 – (6877 + 123);
в) 93785 + (4796 – 1685);
г) 65849 – (14849 – 3151);
д) 890693 – (70020 – 4653 + 3895);
е) (89765 + 10134 – 19867) – 38695.
Найдите в учебниках математики начальной школы упражнения, которые раскрывают изменение разности двух чисел в зависимости от изменения одного из компонентов этого действия.
Заполни таблицу:
Уменьшаемое
Вычитаемое
Разность
1.
+ 12
+24
?
2.
–19
–39
?
3.
+32
–34
?
4.
–50
+17
?
5.
+22
?
–18
6.
–25
?
+34
Нижеприведенные задачи решите различными способами, дайте обоснования:
а) В одной банке было 10 соленых огурцов, а в другой 6 огурцов. За обедом съели 4 огурца. Сколько всего огурцов осталось?
б) В гараже стояло 20 машин, сначала выехало 7 машин, а потом 3 машины. Сколько машин осталось в гараже?
Запишите следующие предложения в виде равенства:
а) 810 больше 320 на 490; б) 319 меньше 536 на 217.
Выясните, с какими теоретико-множественными понятиями встречаются (в неявном виде) ученики 1 класса при решении следующих задач:
а) На одной полке 5 книг, на другой на 3 больше. Сколько книг на двух полках?
б) Во дворе гуляли 6 мальчиков, а девочек на 2 меньше. Сколько всего детей гуляло во дворе?
в) На столе 8 чашек, их на 3 больше, чем стаканов. Сколько стаканов на столе?
г) На верхней полке шкафа 7 книг, а на нижней 4. На сколько книг больше на верхней полке, чем на нижней?
Решите нижеприведенные задачи и объясните, чем отличаются их решения:
а) В одной бочке 40 ведер воды. Утром на поливку цветов израсходовали 12 ведер, а вечером10 ведер. Сколько ведер воды осталось в бочке?
б) В одной бочке было 40 ведер воды, а в другой 12 ведер. На поливку цветов израсходовали10 ведер. Сколько ведер воды осталось в бочках?