10. Функція двох змінних. Частинні похідні. Градієнт функції.

Нехай задано закон , за яким кожній впорядкованій парі незалежних змінних ставиться у відповідність хоча б єдине число z. Число z називають значенням функції f у точці .

Приклад 1. Розглянемо функцію двох змінних . Область визначення цієї функції - це множина усіх точок, які задовольняють нерівність (рівняння кола радіусом 1 з центром у початку координат). Множиною значень даної функції є відрізок .

Нехай функція визначена у деякому околі точки . Тоді частинна похідна цієї функції за змінною x (або y) визначається як звичайна похідна функції однієї змінної x (або y) за фіксованого значення змінної y (або x) і позначається так (частинна похідна першого порядку): .

Приклад 2. Знайти частинні похідні першого порядку від функції .

.

Приклад 3. Знайти частинні похідні другого порядку від функції .

Для цього знайдемо спочатку частинні похідні першого порядку:

.

Далі отримуємо:

.

Зауваження. Похідні і називаються мішаними частинними похідними.

Для характеристики швидкості зміни функції в точці у напрямку деякого одиничного вектора зручно ввести поняття похідної за напрямком:

. (19)

Приклад 4. Обчислити похідну функції у точці за напрямком вектора , де А - точка з координатами .

Спочатку знайдемо координати одиничного вектора , який задає напрямок :

. Далі обчислимо частинні похідні функції z у точці :

.

За формулою (19) маємо: .

Градієнтом функції називається вектор, який у декартовій системі координат визначається за формулою:

. (20)

Зауваження. У просторі градієнт функції визначається за такою формулою:

.

З урахуванням виразу (20) формулу (19) можна переписати так

,

де - кут між векторами і . Звідси випливає, що похідна функції за напрямком має найбільшу величину при , тобто коли напрямок вектора збігається з напрямком вектора .

Отже, градієнт функції у точці характеризує напрямок і величину максимальної швидкості зростання цієї функції в даній точці.

11. Екстремум функції двох змінних. Метод найменших квадратів.

Нехай функція визначена у деякому околі точки . Якщо має в точці екстремум і, крім того, має в точці частинні похідні першого порядку, тоді в цій точці вони дорівнюють нулю (необхідна умова екстремуму):

₍₂₁₎

Нехай у точці можливого екстремуму і у деякому її околі функція має неперервні частинні похідні другого порядку. Побудуємо такий визначник:

Тоді (достатня умова екстремуму):

1). якщо , тоді в точці функція має екстремум, причому при - локальний мінімум, а при - локальний максимум;

2). якщо , тоді в точці функція не має екстремуму;

3). якщо , тоді в точці функція може мати, а може і не мати екстремуму (потрібні додаткові дослідження).

Приклад 1. Дослідити на екстремум функцію

Знаходимо точку можливого екстремуму:

Далі обчислюємо визначник (22): . Оскільки , тоді в точці дана функція має локальний мінімум.

Приклад 2. Дослідити на екстремум функцію .

Маємо:

.

У точці і . Отже, в цій точці екстремум може бути, а може і не бути. У даному випадку екстремум існує, оскільки у всіх точках за винятком точки (функція зростає ліворуч і праворуч від точки ) і у точці , тобто дана функція в цій точці має локальний мінімум.

Приклад 3. По розташованим на координатній площині п експериментальним точкам встановити вигляд функції , яка б добре описувала ці експериментальні значення (задача інтерполяції).

Розглянемо, наприклад, лінійну інтерполяцію: . Зрозуміло, що ця формула є наближеною. Тому, підставляючи значення координат експериментальних точок у цей вираз, отримуємо такі рівності

де - деякі похибки (відхилення). Отже, задача полягає у тому, що необхідно підібрати такі коефіцієнти k і b, щоб похибки були якнайменшими за абсолютною величиною. Для цього використаємо метод найменших квадратів.

Розглянемо суму квадратів похибок:

.

Таким чином, наша задача зводиться до знаходження таких коефіцієнтів і , за яких функція має мінімум:

Отримана система (23) називається нормальною системою методу найменших квадратів. З цієї системи знаходимо коефіцієнти і та відповідно шукане рівняння прямої .

Нарешті, легко показати, що функція має локальний мінімум у точці . Дійсно, і

.