4.Числові ряди. Сума ряду. Умови збіжності рядів.
Нехай задано
числову послідовність
.
Вираз
(4)
називається
числовим
рядом.
- загальний елемент ряду (4), п
– його номер.
Сума скінченного числа елементів ряду (4)
(5)
називається частинною сумою ряду (4).
Ряд (4) називається
збіжним,
якщо
, що
(6)
У протилежному випадку ряд (4) розбігається. Число S називається сумою ряду (4).
Якщо ряд (4)
збігається, тоді
(необхідна
умова збіжності ряду
(4)).
Приклад 1.
Дослідимо на збіжність гармонічний ряд
.
Необхідна умова збіжності виконується: . Розглянемо різницю його частинних сум, наприклад:
Звідси випливає,
що рівність
неможлива, тобто гармонічний ряд
розбігається.
Нехай дано два
ряди
і
з додатними елементами і
виконується нерівність
.
Тоді із збіжності ряду
випливає збіжність ряду
,
а із розбіжності ряду
–розбіжність
ряду
(ознака
порівняння).
Приклад 2.
Дослідити на збіжність ряд
.
Оскільки
і ряд
збігається ( як нескінченно спадна
геометрична прогресія:
),
тоді, згідно з ознакою порівняння,
збігається і ряд
.
Нехай задано ряд
з додатними елементами і
Тоді: 1) за
ряд збігається; 2) за
ряд розбігається, 3) за
ряд може як збігатися, так і розбігатися
(потрібні додаткові дослідження ряду)
(ознака
Даламбера).
Приклад 3.
дослідити на збіжність ряд
.
Згідно з ознакою
Даламбера, маємо:
(ряд розбігається ).
Ряди, які містять елементи довільних знаків, називаються знакозмінними рядами.
Розглянемо ряд, побудований з абсолютних величин елементів ряду (4):
(7)
Якщо ряд (7) збігається, тоді збігається і ряд (4) (достатня умова збіжності для знакозмінних рядів).
Приклад 4.
Дослідити на збіжність ряд
.
Згідно з ознакою
збіжності, даний ряд збігається, оскільки
збігається ряд
.
Дійсно, згідно з ознакою Даламбера,
маємо:
.
Якщо 1) абсолютні
величини елементів знакозмінного ряду
монотонно спадають, тобто
і 2)
,
тоді такий ряд збігається (ознака
Лейбніца).
Приклад 5.
Дослідити на збіжність ряд
.
Згідно з ознакою
Лейбніца, маємо: 1)
і 2)
.
Отже, даний ряд збігається.
Зауваження. Дійсно, згідно з ознакою Лейбніца, ряд збігається. У той самий час гармонічний ряд , побудований з абсолютних величин його елементів, розбігається. Ось чому усі збіжні ряди можна розділити на 1) абсолютно збіжні (одночасно збігається і сам ряд, і ряд, побудований з абсолютних величин його елементів) та 2) умовно збіжні (сам ряд збігається, а ряд, побудований з абсолютних величин його елементів, розбігається). Отже, ряд – умовно збіжний, а ряд – абсолютно збіжний.
5. Степеневий ряд. Радіус збіжності степеневого ряду
Ряд виду
(8)
називається
степеневим
рядом. Числа
називаються коефіцієнтами ряду (8).
Сумою ряду (8) є
деяка функція
,
яка визначена в області збіжності цього
ряду. Якщо ряд (8) збігається не при всіх
значеннях х
(і не лише за х=0),
тоді
,
що ряд абсолютно збігається при
і
розбігається при
називається інтервалом
збіжності
степеневого ряду. Число R
називається його радіусом
збіжності,
який визначається за формулою
Даламбера:
.
(9)
При
(на
кінцях інтервалу збіжності) ряд (8) може
збігатися або розбігатися (потрібні
додаткові дослідження ряду).
Приклад 1.
Дослідити ряд
.
За формулою
Даламбера маємо:
.
Отже, даний ряд збігається при
.
Дослідимо поведінку
ряду на кінцях інтервалу збіжності. При
отримуємо гармонічний ряд
,
який розбігається, а при
ряд
,
який за ознакою Лейбніца, збігається.
У результаті, степеневий ряд
збігається при
.
Приклад 2.
Дослідити ряд
.
Оскільки
,
тоді даний ряд збігається абсолютно на
всій числовій прямій:
.
Зауваження.
Якщо
,
тоді степеневий ряд розбігається на
всій числовій прямій за виключенням
лише точки
.