1.7. Поняття зложеної (складеної) функції.

Нехай , а аргумент у свою чергу є деяка функція від . Тоді, зрештою, буде функцією від , яка називається зложеною функцією, або складеною, або функцією від функції.

.

Приклади:

– проміжний аргумент. Зложену функцію можна утворити не тільки з 2-х функцій:

,

і – проміжні аргументи.

2.Границя функції

Поняття границі функції – одне з найважливіших у вищій математиці.

Нехай на деякій множині Χ визначена функція .

Означення. Число А називається границею функції при (або у точці ), якщо для будь-якого ε > 0 можна знайти таке число > 0, що при всіх , які задовольняють нерівність

0 < < ,

виконується нерівність

< .

Приклад 1. Покажемо, що функція має в точці 0 границю, яка дорівнює 1.

Щоб це довести, ми повинні згідно з означенням для довільного ε > 0 вказати таке δ > 0, при якому із нерівності < δ випливала б нерівність

< ε.

Розглянемо < , оскільки <1.

Отже, оскільки < δ, то буде менше, ніж будь-яке ε > 0, досить δ взяти меншим, ніж ε: 0 < δ < ε.

Таким чином нерівність

<

виконується завжди для δ < ε. Тоді згідно з означенням .

Насправді визначення границі рідко використовується при обчисленні границь.

Приклад 2. Знайти

Приклад 3. Знайти

Існують дві визначальні границі:

1.

2.

Приклад 4. Знайти

Приклад 5. Знайти

Приклад 6. Знайти

Функція називається неперервною в точці , якщо границя функції дорівнює її значенню в цій точці, тобто:

(1)

Точка називається точкою розриву функції , якщо у точці не є неперервною. Таким чином, у точках розриву функція не визначена.

Якщо функція неперервна на , тоді вона досягає на цьому відрізку свого найбільшого і найменшого значення, тобто , що (за теоремою Вейєрштрасса)

і (2)

3. Числові послідовності. Границя послідовності

Якщо кожному числу п з натурального ряду чисел 1,2...п,... поставлено у відповідність дійсне число , тоді множина дійсних чисел називається числовою послідовністю. – загальний елемент послідовності , п – його номер.

Послідовність вважається заданою, якщо вказаний спосіб отримання будь-якого її елемента, наприклад, формула задає послідовність 2, ,...

Послідовність , називається обмеженою, якщо існують такі числа т і М , що будь-який елемент цієї послідовності задовольняє нерівності: . Число – найменше значення , а число – найбільше значення .

Послідовність називається необмеженою, якщо цієї послідовності, який задовольняє нерівність: .

Число а називається границею послідовності , якщо , що виконується нерівність .

Послідовність , яка має границю а, називається збіжною:

або при (3)

Послідовність, яка не є збіжною, називається розбіжною.

Приклад 1. Користуючись означенням границі послідовності, доведемо, що

Згідно з означенням: Звідси випливає, що як номер N можна взяти будь-яке ціле число, яке задовольняє нерівність . Тоді нерівність буде виконуватись

Приклад 2. Знайти

Послідовність називається зростаючою , якщо ; неспадною, якщо ; спадною, якщо ; незростаючою, якщо . Усі такі послідовності називаються монотонними. Монотонна обмежена послідовність збігається (за теоремою).

Приклад 3.

1. спадна і обмежена (m=0, M=1). .

2. зростаюча і обмежена (m= , M=1). .

3. зростаюча і необмежена.

4. незростаюча і обмежена (m=0, M=1).

5. 1,1,2,2,...n,n... – неспадна і необмежена.

6. зростаюча і обмежена (m=2, M=е).

(число е).