Число. Раціональні, ірраціональні та дійсні числа.
Основними поняттями сучасної математики є поняття числа, функції та границі. Хоча ці поняття мають багатовікову історію, яка іноді сягає в сиву давнину, але тільки в сучасній математиці вони набули характерної для них форми і стали наріжними каменями її будови.
Рахуючи окремі предмети, дістають так звані натуральні числа 1, 2, 3, 4,...
Вимірюючи ту чи іншу фізичну величину (час, довжину, температуру та ін.), дістають знову ж таки число. Воно може бути цілим, якщо величина, взята за одиницю масштабу, міститься у вимірюваній величині ціле число разів; дробовим, якщо існує інша менша одиниця, яка міститься ціле число разів як у вимірюваній величині, так і в обраній раніше більшій одиниці; і у цьому разі кажуть, що розглядувана величина спільномірна з одиницею міри. Нарешті, число буде ірраціональним, коли вимірювана величина неспільномірна з одиницею міри.
Розв’язання алгебраїчних задач викликало до життя у свій час (16 століття) від’ємні числа (цілі та дробові). Ще раніше (9 століття) індійці запровадили число нуль (санскритською мовою – “пустий”).
Цілі та дробові
числа, як додатні, так і від’ємні разом
з числом нуль звуть раціональними
числами.
Будь-яке раціональне число можна подати
у вигляді нескоротного дробу
,
де p
і
q
– натуральні числа. Наприклад:
;
;
(дріб
відноситься до нескоротних дробів).
Арифметичні дії
над раціональними числами – додавання,
віднімання, множення та ділення – завжди
дають раціональне число. Ділення на
нуль неприпустиме. Для практичних потреб
(ліку, вимірювання, зважування та ін.)
раціональних чисел цілком досить. Але
в математиці та її застосуваннях
обмежитись раціональними числами
неможливо. Так, обчислюючи діагональ
квадрата, сторона якого дорівнює 1,
дістаємо число
,
відсутнє серед раціональних чисел.
Немає такого раціонального дробу
(p
і
q
– натуральні числа) квадрат якого
дорівнював би 2. Справді, припустимо
супротивне, а саме: що існує такий дріб
,
що
.
Дріб
вважаємо за нескоротний (у противному
разі зробили б скорочення!). З рівності
маємо
,
тобто p
є число парне
.
Підставляючи цю вартість p,
дістанемо
або
.
Звідси випливає, що й
,
а отже й
-
число парне. Виходить, що p
і
q
мають спільник дільник 2, а це суперечить
припущенню, що дріб
- нескоротний. Отже, не існує раціонального
дробу, квадрат якого дорівнює 2.
Таким чином, якщо
обмежитися лише раціональними числами,
то у геометрії не всім відрізкам можна
було б приписати довжину, а в алгебрі
просте рівняння
,
чи
не
мало б кореня. Про факт, щойно наведений
з геометрії, кажуть, що діагональ квадрата
неспільномірна з його стороною (довжина
якої дорівнює одиниці). Можна було б
навести багато фактів, які настирливо
вимагали розширення поняття числа. Це
розширення досягнуто запровадженням
у математику (поряд з раціональними
числами) ірраціональних
чисел. До
них належать, наприклад, числа
,
,
,
,
,
та безліч інших.
З арифметики відомо
що будь-яке раціональне число
можна завжди виразити через скінченний
десятковий дріб, або через нескінченний
десятковий періодичний, або мішаний
періодичний. Приміром,
;
.
І, навпаки, будь-який періодичний
десятковий дріб за відомими правилами,
перетворюється у звичайний. Принципова
відміна ірраціональних чисел від
раціональних полягає у тому, що
будь-яке ірраціональне число зображується
нескінченним неперіодичним десятковим
дробом.
Сукупність усіх раціональних та ірраціональних чисел звуть дійсними числами.
Усі дійсні числа
впорядковані за величиною, тобто для
будь-яких двох чисел
і
справедливе одне з трьох співвідношень
;
;
.