Конспект лекцій з нормативного курсу ”Математичний аналіз”

Історичний епіграф:

“Жодне людське дослідження не

може називатися істиною наукою,

якщо воно не пройшло через

математичне доведення”.

Леонардо да Вінчі

Сучасне твердження:

“Будь яка наука досягає значного

успіху, якщо використовує

у своєму розвитку математичні

методи і моделі”.

1.Вступ

1.1. Предмет математики

Кожна наука, яка вивчає ті чи інші явища оточуючого нас світу, має справу з притаманними їм величинами. Так, фізика – наука про найзагальніші форми руху матерії (механічної, теплової, електромагнітної та ін.) – торкається таких величин, як довжина, сила, температура, маса, питома вага, швидкість, прискорення, теплоємність, сила електричного струму та ін.

Незважаючи на надзвичайну різноманітність цих величин, всі вони мають одну спільну властивість: кожну величину можна виміряти, тобто порівняти з певною величиною тієї ж природи, взятою за одиницю міри. Так, довжина вимірюється одиницею довжини – метром, температура – одиницею температури – градусом, сила струму – ампером і т. д.

Абстрактне число, що його дістаємо внаслідок вимірювання конкретної величини одиницею масштабу, звуть вартістю, чи значенням величини, яка вимірюється. Якщо взяти будь-який закон природи, приміром закон Ленца-Джоуля про кількість виділюваного тепла при проходженні

електричного струму в провіднику , то він дає нам співвідношення між величинами, точніше співвідношення між числами, що виражають ці величини. Предметом дослідження математики і є якраз числа та різні співвідношення між ними, незалежно від того, які саме конкретні величини чи закони привели нас до цих чисел та їх співвідношень. Отже, абстрагуючись від індивідуальних властивостей тієї чи іншої конкретної величини і беручи до уваги тільки одну спільну властивість усіх величин, що про неї вже була мова, у математиці розглядають величину взагалі, і завдяки цьому створюють загальні теорії, застосовні до величин різноманітної природи.

Крім поняття числа із світу, який оточує людину, запозичено також поняття фігури. У світі існують різні речі, що мають певну форму і ці форми повинні були піддаватися порівнянню, перше ніж можна було дійти до поняття фігури. Враховуючи сказане, можна дати таке означення предмету математики: математика має за свій об’єкт просторові форми і кількісні співвідношення реального світу.

Як і в шкільному курсі (геометрії, алгебри, тригонометрії), так і в математичних дисциплінах вищої школи ці дві сторони – просторові форми і кількісні співвідношення – єдиної математики вимальовуються досить чітко і окреслено: аналітична геометрія вивчає просторові образи, диференціальне та інтегральне числення – кількісні співвідношення. Але за самим означенням, аналітична геометрія – це наука, що вивчає властивості геометричних образів засобами алгебри, тобто геометричні питання “перекладаються” на мову алгебри і зрештою зводяться до кількісних співвідношень, до певних обчислень. З другого боку, в диференціальному та інтегральному численні майже завжди вдаються до геометричного тлумачення тієї чи іншої теореми, користуючись поняттями аналітичної геометрії, та до застосувань до геометрії тих чи інших здобутих результатів. Глибокий взаємозв’язок геометрії й математичного аналізу та їх взаємопроникнення – характерна риса сучасної математики.