Механизмы стимулирования в задачах формирования состава организационной системой - Губко М.В

Соответственно, оптимальный план Y находится из условия

H '(Y ) = α = C~'(Y ) . То есть, в зависимости от значения маржи- нального дохода α , оптимальный состав будет:

1)При 0 < α < 3 – система из одного первого АЭ,

2)При 3 < α < 4.25 – система из одного второго АЭ,

3)При α > 4.25 – система из обоих АЭ (при этом план второго АЭ в два раза меньше плана первого АЭ).

5. Кооперативные взаимодействия в задачах формирования состава

При рассмотрении задач стимулирования [] ранее почти никогда не делалось предположения, что центр может изменять состав исполнителей. Это значит, что, при решении

задачи стимулирования центр назначает АЭ стимулирование σ i , как минимум, равное ci0 , даже если план для этого АЭ

равен 0. Если бы у центра была такая возможность, центр обязательно уволил бы АЭ, содержание которого в системе убыточно. Если же центр этого не сделал, сами АЭ могут внутренними усилиями «оптимизировать» состав системы,

незаметно для центра исключив из нее неэффективный АЭ и распределив его план, а также стимулирование, между собой. При этом все АЭ выигрывают, даже исключенный, так как он получает за свой уход выплату. Проигрывает только центр, поскольку он платит за отсутствующего в системе АЭ.

11

Для описанной оптимизации состава системы требуются совместные действия всех или части АЭ (ведь АЭ не выгодно самому себя увольнять). Поэтому логично рассмотреть эту задачу в терминах теории кооперативных игр.

Введем следующие обозначения:

Для каждой коалиции игроков S обозначим

CS (Y ) = min åci (zi ) – функция наименьших затрат коалиции

åzi =Y i S i S

по достижению суммарного действия Y.

YS = å yi* – план, назначенный центром коалиции S.

i S

σ S = åσ i – стимулирование, назначенное центром коалиции

i S

S за достижение плана YS.

Итак, пусть образовалась коалиция S N . Действия участни-

ков коалиции заключаются в выборе подмножества своих участников, позволяющего с минимальными затратами реализовать назначенный центром план YS (чтобы центр не заметил изменения состава исполнителей, коалиция должны выполнить план). Тогда суммарный выигрыш коалиции запишется следующим образом:

(17) v(S) = σ S - min CK (YS ) .

K S

Это выражение задает характеристическую функцию игры.

Докажем простую, но полезную лемму:

Лемма: для произвольных S, T, YS, YT

12

Формально в правой части можно записать минимум каждой суммы по множеству из одной точки:

уменьшим правую часть, расширив множества, на которых берется минимум:

Для этого перепишем правую часть:

13

где (zi* )i SUT – вектор, на котором достигаются соответствую-

щие минимумы. При этом åzi* = YS + YT .

i SUT

Но правая часть (20) равна

min åci (zi ) , то есть, равна минимуму по множеству,

åzi =YS +YT i SUT i S UT

включающему вектор (zi* )i SUT . Значит, правая часть (20) меньше, чем левая часть, что и требовалось доказать.∙

Заметим, что при доказательстве не использовался тот факт, что центр использует квазикомпенсаторную СС. Этот результат верен при произвольной СС.

Используя эту лемму, можно показать, что

Теорема. Характеристическая функция (17) супераддитивна.

Доказательство.

Действительно, запишем для нее условие супераддитивности:

14

Минимумы левой части достигаются на некоторых подмно- жествах K* Í S, M * Í T коалиций S и T, то есть, левая часть (21) равна CK* (YS ) + CM * (YT ) . По доказанной лемме,

Но K* U M * Í S U T . В правой же части выражения (21) стоит минимум по всем подмножествам множества S UT . Значит правая часть (21) действительно меньше левой. ∙

Этот результат также верен для произвольной СС.

Докажем еще один результат:

Лемма. При использовании центром квазикомпенсаторной системы стимулирования "S Í N CS (YS ) = åci (yi* ) .

i S

Доказательство.∙

Интересно рассмотреть возможности образования макси- мальной коалиции АЭ в этой игре. Будем считать, что максимальная коалиция устойчива, если C-ядро игры непус- то.

Необходимое и достаточное условие непустоты C-ядра для данной игры можно записать так:

коалиции,

15

Тогда (22) можно преобразовать к более удобному виду

Иначе говоря, если есть такой АЭ (с номером l), что его выгодно исключить из любой коалиции, в которую он входит (за исключением, естественно, коалиции {l}), то С-ядро не пусто.

Доказательство.

Если выполнено (28), то

å åδSαiS ci (ziS ) = å åδS ci (ziS ) +δ{l}cl ( yl ) .

i N S:i S i N \{l} S:i S

По свойствам выпуклых функций

16

å åδS ci (ziS ) ³ å ci ( åδS ziS ) . i N \{l} S:i S i N \{l} S:i S

Значит, если верно неравенство

åxi = å åδS ziS = åδS åziS = åδS å yi -δ{l} yl = i N \{l} i N \{l} S:i S S N i S \{l} S N i S

= å yi -δ{l} yl . i N

Еще уменьшим левую часть неравенства (29):

CN \{l} (YN ) - CN \{l}(YN -δ{l} yl ) £ [CN \{l}(YN ) - CN \{l}(YN - yl )]δ{l} .

Значит, теорема верна, если

cl (yl ) + CN \{l}(YN - yl ) = CN (YN ) ³ CN \{l}(YN ) = min CK (YN ) , K N

17

а это неравенство очевидно.

∙

6. Заключение

Исследование показало применимость результатов решения задач стимулирования для n агентов к решению задач формирования состава исполнителей. Теоретически рассмотренные задачи

формирования состава сводятся к комбинации решения задач стимулирования. Однако большое число задач, которые приходит- ся решать, приводит к необходимости поиска результатов, сокращающих их число.

Были поставлены и решены две типовых задачи формирования состава исполнителей: задача первоначального подбора персонала и задача привлечения дополнительных участников.

18