4. Динамика абсолютно твердого тела Лекция № 5
4.1. Динамика поступательного движения твердого тела.
4.2. Момент импульса. Момент силы.
4.3. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно точки.
4.4. Закон сохранения момента импульса.
4.5. Момент инерции.
4.6. Теорема Штейнера. Правило аддитивности.
4.1. Динамика поступательного движения твердого тела
Движение любого твердого тела можно рассматривать как сумму поступательного движения его центра масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через его центр масс.
Разобьем твердое тело на элементарные массы mi , тогда его можно представить как систему материальных точек, взаимное расположение которых остается неизменным. Поэтому для описания поступательного движения тела можно использовать закон изменения импульса механической системы
,
(4.1.1)
− импульс всех
материальных точек твердого тела.
Также можно воспользоваться понятием центра масс и к поступательному движению твердого тела применить закон движения центра масс
.
(4.1.2)
Центр масс твердого тела движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса тела, и на которую действуют все силы, приложенные к телу. Уравнение (4.1.2) дает возможность установить закон движение центра масс твердого тела, если известна масса тела и действующие на него силы. Если тело движется только поступательно, то это уравнение будет определять не только закон движения центра масс, но и любой другой точки тела.
4.2. Момент импульса. Момент силы
Момент силы.
Векторная величина, равная векторному
произведению радиус-вектора
точки, проведенному из полюса в точку
приложения силы, на силу
называется моментом
силы
материальной точки относительно
некоторого центра
.
(4.2.1)
П
усть
на частицу массой m
действует сила
,
а ее положение в некоторой инерциальной
системе отсчета характеризуется
радиус-вектором
относительно начала координат. Тогда
момент силы частицы относительно точки
О
дается уравнением (4.2.1). Направление
момента силы
совпадает с направлением поступательного
движения правого винта при его вращении
от радиус-вектора
к силе
,
и он перпендикулярен как вектору
,
так и вектору
(рис. 4.2.1). Тогда модуль вектора момента
силы равен
M = Fr sin = Fd, (4.2.2)
где d = r sin − плечо силы относительно точки О.
Плечо силы − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила.
Т
аким
образом, модуль момента силы относительно
оси, есть скалярная величина, характеризующая
вращательное движение действия силы и
равная произведению модуля силы F,
действующей на твердое тело, на плечо
силы d
относительно этой оси.
Если на тело действует несколько сил, то суммарный момент этих сил равен векторной сумме моментов всех сил относительно данной оси:
.
(4.2.3)
Момент
импульса.
Векторная величина, равная векторному
произведению радиус-вектора
точки, проведенного из центра на ее
импульс
называется моментом
импульса
материальной точки относительно
некоторого центра
.
(4.2.4)
Пусть частица
массой m имеет импульс
,
а ее положение в некоторой инерциальной
системе отсчета характеризуется
радиус-вектором
относительно начала координат. Тогда
момент импульса частицы относительно
точки О дается уравнением (4.2.4).
Направление момента импульса совпадает
с направлением поступательного движения
правого винта при его вращении от
радиус-вектора
к импульсу
,
и он перпендикулярен как вектору
,
так и вектору
(рис. 4.2.2). Тогда модуль вектора момента
импульса равен
L = rp sin = pd, (4.2.5)
где d − плечо импульса относительно точки О.
Плечо импульса − это расстояние, измеряемое по перпендикуляру от оси вращения до линии, вдоль которой направлен импульс.
Таким образом, модуль вектора момента импульса относительно центра или оси − есть скалярная величина, равная произведению импульса p на плечо импульса d относительно этой оси.
Моментом импульса механической системы относительно некоторого центра называется векторная величина, равная геометрической сумме моментов импульса относительно той же точки всех материальных точек системы
.
(4.2.6)