Лабораторная работа 13 ядро, область значений, собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Вопросы для самоконтроля:

1. Что такое характеристический корень линейного оператора?

2. Что такое собственное значение и собственный вектор линейного оператора?

3. Как связаны характеристические корни и собственные значения линейного оператора линейного пространства над полем действительных чисел, над полем комплексных чисел?

4. Как найти собственные векторы линейного оператора линейного пространства?

5. Что такое ядро и область значений (образ) линейного оператора? Чему равны их размерности?

6. Как найти базисы ядра и образа линейного оператора?

ВАРИАНТ 1

1. Описать образ и ядро оператора дифференцирования пространства многочленов степени n.

2. Найти собственные значения и собственные векторы операторов, заданных матрицами:

а) ; б) .

ВАРИАНТ 2

1. В пространстве А₃ линейный оператор φ переводит вектор x=(x₁,x₂,x₃) в вектор φx=(x₁–x₂+x₃, x₁–x₂+x₃, x₁–x₂+x₃). Найти базисы и размерности образа и ядра этого оператора.

2. Найти собственные значения и собственные векторы операторов, заданных матрицами:

а) ; б) .

ВАРИАНТ 3

1. Найти образ и ядро линейного оператора φ в линейном пространстве V₃ векторов-отрезков, заданного формулой φx=[x,a], где а – фиксированный вектор.

2. Найти собственные значения и собственные векторы операторов, заданных матрицами:

а) ; б) .

ВАРИАНТ 4

1. В пространстве А₃ линейный оператор φ переводит вектор x=(x₁,x₂,x₃) в вектор φx=(2x₁–x₂–x₃, x₁–2x₂+x₃, x₁+x₂–2x₃). Найти базисы и размерности образа и ядра этого оператора.

2. Найти собственные значения и собственные векторы операторов, заданных матрицами:

а) ; б) .

ВАРИАНТ 5

1. Найти образ и ядро линейного оператора линейного пространства V₃ векторов-отрезков, заданного формулой φx=[a,[x,b]], a и b – фиксированные векторы.

2. Найти собственные значения и собственные векторы операторов, заданных матрицами:

а) ; б) .

ВАРИАНТ 6

1. В пространстве А₃ линейный оператор φ переводит вектор x=(x₁,x₂,x₃) в вектор φx=(–x₁+x₂+x₃, x₁+x₂–x₃, x₁–x₂+x₃). Найти базисы и размерности образа и ядра этого оператора.

2. Найти собственные значения и собственные векторы операторов, заданных матрицами:

а) ; б) .

ВАРИАНТ 7

1. В пространстве P_n многочленов степени n задан разностный оператор φ(f(x))=f(x+1) – f(x). Найти образ и ядро этого оператора.

2. Найти собственные значения и собственные векторы операторов, заданных матрицами:

а) ; б) .

ВАРИАНТ 8

1. В пространстве А₄ линейный оператор φ вектор x=(x₁,x₂,x₃,x₄) переводит в вектор φx=(x₁+x₂–x₃–x₄, x₁+x₂–x₃–x₄, 2x₁+2x₂–2x₃–2x₄, x₁+x₂+2x₃–x₄). Найти базисы и размерности ядра и образа этого оператора.

2. Найти собственные значения и собственные векторы операторов, заданных матрицами:

а) ; б) .

ВАРИАНТ 9

1. Линейное пространство L является прямой суммой подпространств L₁ и L₂, ; оператор φ, который любому вектору x из L с разложением x=x₁+x₂, x₁L₁, x₂L₂ ставит в соответствие вектор x₁, называется оператором проектирования пространства L на L₁ параллельно L₂. Найти образ и ядро оператора φ.

2. Найти собственные значения и собственные векторы операторов, заданных матрицами:

а) ; б) .

ВАРИАНТ 10

1. В пространстве многочленов степени 3 дан оператор φ такой, что φ(f(x))=f(x+2) – f(x)/2. Найти его образ и ядро.

2. Найти собственные значения и собственные векторы операторов, заданных матрицами:

а) ; б) .

ВАРИАНТ 11

1. В пространстве А₄ линейный оператор φ вектор x=(x₁,x₂,x₃,x₄) переводит в вектор φx=(x₁+x₂+x₃–x₄, x₁+x₂+x₃–x₄, x₁+x₂+x₃–x₄, x₁+x₂+x₃–x₄). Найти базисы и размерности ядра и образа этого оператора.

2. Найти собственные значения и собственные векторы операторов, заданных матрицами:

а) ; б) .

ВАРИАНТ 12

1. В трехмерном линейном пространстве линейное преобразование φ задается матрицей А. Найти базисы и размерности ядра и образа этого преобразования.

.

2. Найти собственные значения и собственные векторы операторов, заданных матрицами:

а) ; б) .

ВАРИАНТ 13

1. В пространстве А₃ оператор φ переводит вектор x=(x₁,x₂,x₃) в вектор φx=(x₁+x₂, x₂, x₁+x₂+x₃). Найти базисы и размерности образа и ядра этого оператора.

2. Найти собственные значения и собственные векторы операторов, заданных матрицами:

а) ; б) .

Список литературы

1. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты/ «Финансы и статистика», Москва, 2003.

СОДЕРЖАНИЕ

УДК 512.64 2

Обозначения: 2

Лабораторная работа 8 3

ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ПОДПРОСТРАНСТВО. 3

БАЗИС И РАЗМЕРНОСТЬ 3

Вопросы для самоконтроля: 3

ВАРИАНТ 1 3

ВАРИАНТ 2 3

ВАРИАНТ 3 4

ВАРИАНТ 4 4

ВАРИАНТ 5 5

ВАРИАНТ 6 5

ВАРИАНТ 7 6

ВАРИАНТ 8 6

ВАРИАНТ 9 6

ВАРИАНТ 10 7

ВАРИАНТ 11 7

ВАРИАНТ 12 8

ВАРИАНТ 13 8

Лабораторная работа 9 9

МАТРИЦА ПЕРЕХОДА. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ 9

Вопросы для самоконтроля: 9

ВАРИАНТ 1 9

ВАРИАНТ 2 9

ВАРИАНТ 3 10

ВАРИАНТ 4 10

ВАРИАНТ 5 11

ВАРИАНТ 6 11

ВАРИАНТ 7 11

ВАРИАНТ 8 12

ВАРИАНТ 9 12

ВАРИАНТ 10 12

ВАРИАНТ 11 13

ВАРИАНТ 12 13

ВАРИАНТ 13 14

Лабораторная работа 10 14

МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. 14

СВЯЗЬ КООРДИНАТ ВЕКТОРА И ЕГО ОБРАЗА 14

Вопросы для самоконтроля: 14

ВАРИАНТ 1 15

ВАРИАНТ 2 15

ВАРИАНТ 3 16

ВАРИАНТ 4 17

ВАРИАНТ 5 17

ВАРИАНТ 6 18

ВАРИАНТ 7 18

ВАРИАНТ 8 19

ВАРИАНТ 9 20

ВАРИАНТ 10 20

ВАРИАНТ 11 21

ВАРИАНТ 12 21

ВАРИАНТ 13 22

ВАРИАНТ 14 23

Лабораторная работа 11 23

ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ДОПОЛНЕНИЕ. ПРОЕКЦИЯ, ПЕРПЕНДИКУЛЯР, НАКЛОННАЯ. ПЛОСКОСТЬ В ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 23

Вопросы для самоконтроля: 23

ВАРИАНТ 1 24

ВАРИАНТ 2 24

Задать его в виде линейной оболочки. 24

ВАРИАНТ 3 25

ВАРИАНТ 4 25

ВАРИАНТ 5 25

ВАРИАНТ 6 26

ВАРИАНТ 7 26

ВАРИАНТ 8 26

ВАРИАНТ 9 27

Задать его в виде линейной оболочки. 27

ВАРИАНТ 10 27

ВАРИАНТ 11 28

ВАРИАНТ 12 28

ВАРИАНТ 13 28

Лабораторная работа 12 29

ПОДПРОСТРАНСТВА. СУММА И ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВ 29

Вопросы для самоконтроля: 29

ВАРИАНТ 1 29

ВАРИАНТ 2 30

ВАРИАНТ 3 30

ВАРИАНТ 4 30

ВАРИАНТ 5 31

ВАРИАНТ 6 31

ВАРИАНТ 7 31

ВАРИАНТ 8 32

ВАРИАНТ 9 32

ВАРИАНТ 10 33

ВАРИАНТ 11 33

ВАРИАНТ 12 33

ВАРИАНТ 13 34

Лабораторная работа 13 34

ЯДРО, ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ, СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ 34

ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА 34

Вопросы для самоконтроля: 34

ВАРИАНТ 1 34

ВАРИАНТ 2 35

ВАРИАНТ 3 35

ВАРИАНТ 4 36

ВАРИАНТ 5 36

ВАРИАНТ 6 36

ВАРИАНТ 7 36

ВАРИАНТ 8 37

ВАРИАНТ 9 37

ВАРИАНТ 10 38

ВАРИАНТ 11 38

ВАРИАНТ 12 38

ВАРИАНТ 13 39

Список литературы 39

СОДЕРЖАНИЕ 40

43

Линейная алгебра: лабораторные работы 8-13 44

Составители: Галина Александровна Маланьина 44

Яков Давидович Половицкий 44

Редактор Н.В. Коваль 44

614990. Пермь, ул. Букирева, 15 44

Линейная алгебра: лабораторные работы 8-13

Составители: Галина Александровна Маланьина

Яков Давидович Половицкий

Валентина Ивановна Хлебутина

Редактор Н.В. Коваль

Корректор В.Н. Ушакова

Подписано в печать 27.07.2006. Формат 60х84 1/16.

Бум.ВХИ. Печать офсетная. Усл. печ. л. 2,32.

Уч.– изд. л. 2,1. Тираж 500 экз. Заказ

Редакционно-издательский отдел Пермского университета

614990. Пермь, ул. Букирева, 15

Типография Пермского университета

614990. Пермь, ул. Букирева, 15

44