4.2. Схема расчета потенциальных полей

Существенно упрощенная схема решения уравнений Пуассона или Лапласа приведена на рис. 4.9. Сущность того или иного метода проследим на конкретных примерах с соответствующими пояснениями.

Рис. 4.9. Упрощенная схема расчета потенциальных полей

5. Метод Фурье решения краевых задач (метод разделения переменных)

Одним из наиболее широко применяемых в математической физике аналитических методов решения ДУЧП является метод Фурье. Типичными задачами, к решению которых применяется этот метод решения, являются краевые задачи в ограниченных областях для уравнений гиперболического и параболического типов. Метод Фурье применяют также и при решении краевых задач для уравнений эллиптического типа. Суть метода рассмотрим на примере решения уравнения Лапласа в прямоугольной, цилиндрической и сферической системах координат.

5.1. Решение уравнения Лапласа в прямоугольной системе координат методом разделения переменных

Основные этапы решения заключаются в следующем:

1. Записываем уравнение Лапласа в прямоугольных координатах

. (5.28)

2. Ищем частное решение этого уравнения U_p(x,y,z) в виде произведения трех функций X(x), Y(y), Z(z):

. (5.29)

3. U_p(x,y,z) из уравнения (5.29) подставляем в исходное уравнение (5.28). Теперь вместо частных производных нужно пользоваться полными производными

. (5.30)

4. Обе части уравнения (5.30) разделим на произведение , в записи функций опустим аргументы

. (5.31)

5. Равенство (5.31) имеет вид

. (5.32)

Левая часть уравнения (5.32) и, следовательно (5.31), может обращаться в нуль только в том случае, если каждое из слагаемых в отдельности есть величина постоянная.

6. Таким образом, уравнение (5.31) распадается на три обыкновенных дифференциальных уравнения:

; ; , (5.33)

где – постоянные величины, связанные между собой очевидным равенством

. (5.34)

Знак «-» у введен для получения решения в виде тригонометрических функций и принципиального значения не имеет. Величины называют константами разделения.

Уравнения (5.33) могут быть записаны так:

; ; . (5.35)

7. Уравнения вида (5.35) являются хорошо известными ОДУ второго порядка, решение их проводится по стандартной методике:

а) характеристическое уравнение и его решение

, ;

б) согласно табл. 1 частные решения каждого из уравнений (5.35) следует записать

, .

Общее решение каждого из уравнений (5.35) находится как сумма частных решений

,

, (5.36)

.

8. Поскольку и – вещественные числа, то для удовлетворения равенству (5.34) хотя бы одно из них должно быть отрицательным числом. Предположим, например, что и , тогда и, следовательно, – мнимое число.

В этом случае решение для Z(z) удобно представить не как тригонометрическую функцию мнимого аргумента , а как гиперболическую функцию вещественного аргумента. Введем новое обозначение для :

. (5.37)

Тогда Z(z) из уравнения (5.36) запишем так:

. (5.38)

Из курса высшей математики известны правила преобразования функции от мнимого аргумента к функции вещественного аргумента

; . (5.39)

На основании (5.39) в уравнении (5.38) производим замены

; ; . (5.40)

Окончательно для Z(z) получим

. (5.41)

9. Таким образом, частные решения будут представляться в виде произведения тригонометрических и гиперболических синусов и косинусов

(5.42)

При составлении частного решения необходимо выбрать постоянные интегрирования и два из параметров так, чтобы удовлетворить, хотя бы частично, граничным условиям задачи.

10. Если в задаче не удается удовлетворить всем граничным условиям подбором перечисленных постоянных, решение ищут в виде бесконечной суммы частных решений (принцип композиции решения), удовлетворяют оставшимся граничным условиям, и, в ряде случаев, для приближенного расчета оказывается достаточным вычисление двух-трех членов этой суммы.

Рассмотрим пример.

Дано: бесконечно протяженный вдоль оси z заземленный металлический желоб прямоугольного сечения (рис. 5.10) с крышкой, изолированной от корпуса, имеющей потенциал .

Т ребуется найти распределение поля внутри желоба.

Рис. 5.10. Прямоугольный бесконечно протяженный вдоль оси z металлический желоб с сечением

Решение

Определим тип граничных условий. В задаче требуется найти решение уравнения Лапласа U(x,y,z) в сечении желоба, причем на границе указанной области решение принимает заданные значения U=0 и U=U₀. Следовательно, это краевая задача с граничными условиями первого рода (задача Дирихле).

1. Обоснуем выбор системы координат, в которой следует решать задачу.

Очевидно, что граничные условия имеют наиболее простой вид в прямоугольной системе координат:

а) x=0, U=0;

б) x=a, U=0;

в) y=0, U=0;

г) y=b, U= U₀.

2. С целью поиска возможного упрощения проведем анализ симметрии задачи. Очевидно, что функция U(x,y,z), записанная в общем виде, в данном конкретном случае не будет зависеть от z, т.е. U(x,y,z)U(x,y). Математически этот факт выражается тем, что в системе уравнений (5.36) нужно положить Z(z)=const.

Для этого, очевидно, достаточно, чтобы К_z=0. Тогда Z(z)= C₁, а частное решение U_р(x,y) в соответствии с (5.42) примет вид

(5.43)

где коэффициенты А₁, А₂, В₁, В₂ уже учитывают множитель C₁, а в соответствии с (5.37) .

3. Удовлетворим граничное условие (а) пункта 2:

(5.44)

или

.

Последнее равенство будет справедливым при любом y, если А₁=0.

4. Удовлетворим граничному условию (в) пункта 2.

(5.45)

Последнее равенство будет справедливо при любом , если .

Итак, граничные условия (а) и (в) будут удовлетворяться при , а частное решение после определения этих коэффициентов будет иметь вид:

(5.46)

5. Рассмотрим граничное условие (б)

, (5.47)

где – это тривиальное решение, оно не интересно. Равенство (5.47) возможно при любом , если

(5.48)

где – произвольное целое число (р=0,1,2,…). Таким образом, может принимать различные, но не любые значения, а именно, должно быть кратным .

Выбор однозначно определяет , поскольку между ними существует связь . Отсюда Итак, , а частное решение на этом этапе будет иметь вид

(5.49)

или , где включает в себя умножение на i.

6. Рассмотрим последнее граничное условие (r):

. (5.50)

Каким бы ни было число , его не удаётся подобрать так, чтобы это равенство выполнялось. Это следует из того, что , тогда равенство, соответствующее граничному условию (r), можно записать

. (5.51)

В левой части равенства находится синусоидально изменяющаяся функция, в правой – постоянная величина , равенство не будет выполняться ни при каких значениях . В интервале изменения соотношение между при различных значениях и необходимым законом изменения потенциала приведено на рис. 5.11. Здесь необходимый закон изменения потенциала обозначен сплошной линией, а распределение потенциала, которое даётся частным решением при различных значениях , – пунктирной линией.

Рис. 5.11. К расчёту поля для прямоугольного жёлоба

Из рис. 5.11 видно, что можно взять сумму частных решений с различными и так, чтобы эта сумма на интервале при давала требуемый закон постоянства потенциала.

7. Будем искать решение в виде бесконечной суммы частных решений, соответствующим всем положительным значениям . Частные решения, соответствующие , являются, как можно убедиться, линейно зависящими от решений, соответствующим значениям , и могут не учитываться:

. (5.52)

Вновь попытаемся удовлетворить заданному граничному условию (r):

. (5.53)

а) в уравнении (5.53) зафиксируем какое- либо значение , сделав его равным , умножим обе его части на , получим

; (5.54)

б) уравнение (4.54) проинтегрируем по в пределах от до :

. (5.55)

Рассмотрим . Это табличный интеграл типа

,

.

Поскольку нулевое значение интеграла – тривиальный случай, не представляющий интереса, для выполнения граничных условий на крышке желоба необходимо взять только нечётные значения и, следовательно, , например, , где - любое число.

Рассмотрим интеграл в правой части уравнения (5.55) .

Интеграл табличный вида .

в) уравнение (5.55) после взятия интегралов будет иметь вид

. (5.56)

Значение будет равно

. (5.57)

8. Поскольку значение выбиралось произвольно, то в найденном выражении для можно заменить на и окончательное решение задачи представить в виде

, (5.58)

где , а суммирование ведётся по целым значениям . В ряде случаев для приближённого расчёта оказывается достаточным вычислить два- три члена этой суммы.