- •4. Методы, наиболее часто применяемые на практике при решении
- •5. Метод Фурье решения краевых задач
- •9. Методы, основанные на применении теоремы Гаусса и
- •1.1. Постановка задач по расчету потенциальных полей
- •1. 2. Элементы теории уравнений с частными производными
- •1. 3. Дифференциальное уравнение
- •1.4. Типы уравнений с частными производными
- •1. 5. Решение уравнений с частными производными
- •2. Математическая аналогия между потенциальными полями
- •3. Общие свойства уравнения Лапласа
- •3.1. Классификация уравнения
- •3. 2. Физический смысл оператора Лапласа
- •3.3. Особенности решения
- •3.4. Граничные условия
- •3.5. Выбор системы координат при решении уравнений Лапласа и Пуассона
- •Декартовы прямоугольные координаты
- •Цилиндрические координаты
- •Сферические координаты
- •3.6. Единственность решения уравнения Лапласа. Принцип композиции
- •3.7. Расчетные модели и основные принципы их построения
- •4. Методы, наиболее часто применяемые на практике при решении уравнений с частными производными
- •4.1. Классификация методов решения уравнений с частными производными
- •4.2. Схема расчета потенциальных полей
- •5. Метод Фурье решения краевых задач (метод разделения переменных)
- •5.1. Решение уравнения Лапласа в прямоугольной системе координат методом разделения переменных
- •5.2. Решение уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат
- •5.3. Решение уравнения Лапласа в сферической системе координат
- •5.4. Краткая характеристика метода разделения переменных
- •6. Метод конечных интегральных преобразований (метод г.А.Гринберга)
- •6.1. Принцип метода конечных интегральных преобразований
- •6. 2. Собственные значения и собственные функции краевой задачи
- •6.3. Простейший пример использования метода конечных интегральных преобразований
- •7. Метод зеркальных изображений
- •7.1. Принцип метода
- •7. 2. Общий случай расчета электростатического поля вблизи плоской границы двух сред
- •7. 3. Применение метода зеркальных изображений для расчета магнитных полей, создаваемых токами, протекающими вблизи ферромагнитных масс
- •8. Метод наложения
- •9. Методы, основанные на применении теоремы Гаусса и закона полного тока в интегральной форме
- •9.1. Применение теоремы Гаусса
- •9. 2. Применение закона полного тока
- •10. Метод функции Грина решения краевых задач для уравнений эллиптического типа
- •10.1. Формулы Грина
- •1.Формулы Грина выводят из теоремы Остроградского – Гаусса:
- •10. 2. Применение аппарата δ - функций в электродинамике
- •10. 3. Сущность метода функций Грина
- •11. Метод интегральных уравнений
- •12. Решение уравнений с частными производными методом конформных отображений
- •12.1. Понятие функции комплексного переменного
- •12. 2. Определение конформного отображения
- •13. Численное решение уравнений с частными производными
- •13.1. Основные понятия метода сеток
- •13. 2. Метод сеток для задачи Дирихле
- •Библиографический список
- •620062, Екатеринбург, ул. Мира, 19
4. Методы, наиболее часто применяемые на практике при решении уравнений с частными производными
Итак, анализ потенциальных полей различной физической природы требует решения дифференциального уравнения одного и того же вида – Пуассона или Лапласа.
4.1. Классификация методов решения уравнений с частными производными
Различают две большие группы методов решения УЧП – аналитические и численные. Под аналитическими методами подразумевают такие решения, в которых неизвестная функция U выражена через независимые переменные и параметры изучаемой системы в виде формул, бесконечных рядов и интегралов.
Под численными понимают решения, полученные численно после приближенной замены исходного уравнения другим, более простым уравнением. Результатом такой процедуры обычно является таблица значений решений U при некоторых значениях независимых переменных.
Обе группы методов обладают своими достоинствами и недостатками. Обсудим их кратко.
Преимущества аналитического решения.
1. Очевидно, что решение задачи в аналитическом виде более информативно, чем таблица чисел, получаемая при решении численным методом:
а) решение в любой конкретной точке (x, y) можно вычислить как угодно точно, увеличивая число учитываемых членов ряда;
б) при этом легко получить оценку величины допускаемой ошибки.
2. Аналитическое решение всегда позволяет вычислить решение в одной точке (x, y), не прибегая к вычислению значений решений в других точках, как это бывает при численных решениях задач.
3. Аналитическое решение позволяет определить решение в любой точке, а не только в узлах сетки.
4. Важным преимуществом аналитического решения является возможность проследить влияние физических параметров, начальных и граничных условий на характер решения. Численные методы не выявляют таких закономерностей.
Преимущество численных методов.
Главным преимуществом численных методов решения является то, что можно получит даже в том случае, когда аналитическое решение получить невозможно. Дело в том, что число задач, решение которых может быть найдено в замкнутом аналитическом виде, т.е. в виде формул, содержащих суммы, интегралы и другие выражения от элементарных алгебраических и изученных трансцендентных функций, очень ограничено. В основном это решение для «хороших» областей в виде полосы, полуплоскости, прямоугольника, клина, угловой области, внутренности и внешности сферы, цилиндра, конуса и некоторых других областей. При этом краевые условия должны быть тоже «хорошими» на «хороших» границах. Ни в коем случае они не должны перемешиваться так, что на одной части границы одно краевое условие, а на другой части – другое. Иными словами, применяя аналитические методы решения, мы не можем поступать так, как нам хотелось бы и как это наблюдается в действительности.
Таким образом, область применения аналитических методов – ряд упрощенных примеров, которые допускают теоретический анализ, аналитические решения и оценки.
Решающее преимущество численных методов решения УЧП заложено в его сути. В этом методе УЧП сводится к системе алгебраических уравнений, методы решения которых на ЭВМ хорошо разработаны. Именно поэтому прогресс в области высокопроизводительных ЭВМ привел к созданию новых численных методов, позволяющих решать такие задачи, о решении которых аналитическими методами никто даже не задумывался. Граница разделения аналитических и численных методов условна. При любом методе количественной оценки параметров физического поля необходимо выполнение численных расчетов. В этом смысле степень использования ЭВМ для расчетов полей определяется требованиями к полноте расчетов. Даже если применяется аналитический метод решения задачи, для получения численных результатов приходится на последнем этапе использовать ЭВМ.
С другой стороны, при решении задач расчета физических полей численными методами стремятся использовать аналитические решения, особенно на начальном этапе, при постановке задачи, что имеет исключительно важное значение.
Помимо рассмотренных разработан ряд частных методов расчета потенциальных полей. Наиболее распространенными из них являются: метод наложения, метод, основанный на применении теоремы Гаусса, конформных изображений, зеркальных изображений, функции Грина, интегральных преобразований и т.д. Основная идея всех этих методов – приведение сложной задачи к более простой с теми же граничными условиями, существенное упрощение или исключение вообще необходимости решения уравнений Лапласа и Пуассона.