- •4. Методы, наиболее часто применяемые на практике при решении
- •5. Метод Фурье решения краевых задач
- •9. Методы, основанные на применении теоремы Гаусса и
- •1.1. Постановка задач по расчету потенциальных полей
- •1. 2. Элементы теории уравнений с частными производными
- •1. 3. Дифференциальное уравнение
- •1.4. Типы уравнений с частными производными
- •1. 5. Решение уравнений с частными производными
- •2. Математическая аналогия между потенциальными полями
- •3. Общие свойства уравнения Лапласа
- •3.1. Классификация уравнения
- •3. 2. Физический смысл оператора Лапласа
- •3.3. Особенности решения
- •3.4. Граничные условия
- •3.5. Выбор системы координат при решении уравнений Лапласа и Пуассона
- •Декартовы прямоугольные координаты
- •Цилиндрические координаты
- •Сферические координаты
- •3.6. Единственность решения уравнения Лапласа. Принцип композиции
- •3.7. Расчетные модели и основные принципы их построения
- •4. Методы, наиболее часто применяемые на практике при решении уравнений с частными производными
- •4.1. Классификация методов решения уравнений с частными производными
- •4.2. Схема расчета потенциальных полей
- •5. Метод Фурье решения краевых задач (метод разделения переменных)
- •5.1. Решение уравнения Лапласа в прямоугольной системе координат методом разделения переменных
- •5.2. Решение уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат
- •5.3. Решение уравнения Лапласа в сферической системе координат
- •5.4. Краткая характеристика метода разделения переменных
- •6. Метод конечных интегральных преобразований (метод г.А.Гринберга)
- •6.1. Принцип метода конечных интегральных преобразований
- •6. 2. Собственные значения и собственные функции краевой задачи
- •6.3. Простейший пример использования метода конечных интегральных преобразований
- •7. Метод зеркальных изображений
- •7.1. Принцип метода
- •7. 2. Общий случай расчета электростатического поля вблизи плоской границы двух сред
- •7. 3. Применение метода зеркальных изображений для расчета магнитных полей, создаваемых токами, протекающими вблизи ферромагнитных масс
- •8. Метод наложения
- •9. Методы, основанные на применении теоремы Гаусса и закона полного тока в интегральной форме
- •9.1. Применение теоремы Гаусса
- •9. 2. Применение закона полного тока
- •10. Метод функции Грина решения краевых задач для уравнений эллиптического типа
- •10.1. Формулы Грина
- •1.Формулы Грина выводят из теоремы Остроградского – Гаусса:
- •10. 2. Применение аппарата δ - функций в электродинамике
- •10. 3. Сущность метода функций Грина
- •11. Метод интегральных уравнений
- •12. Решение уравнений с частными производными методом конформных отображений
- •12.1. Понятие функции комплексного переменного
- •12. 2. Определение конформного отображения
- •13. Численное решение уравнений с частными производными
- •13.1. Основные понятия метода сеток
- •13. 2. Метод сеток для задачи Дирихле
- •Библиографический список
- •620062, Екатеринбург, ул. Мира, 19
3.6. Единственность решения уравнения Лапласа. Принцип композиции
Итак, уравнение Лапласа, как ДУЧП, имеет множество решений, выражающихся разными функциями. Решение становится однозначным, если наложить на задачу граничные условия, так или иначе ограничивающие пространство поля. Условие единственности решения уравнения Лапласа формулируется так: не существует двух различных функций U1 и U2, удовлетворяющих одновременно уравнению Лапласа и поставленным граничным условиям. Практически никогда не удается сразу найти такую функцию, которая удовлетворяла бы как уравнению Лапласа, так и всем граничным условиям. Поэтому пользуются принципом композиции решения.
Суть и методика применения принципа композиции решения заключается в следующем:
1. Уравнение Лапласа имеет множество решений, т.е. существует обширный класс функций, удовлетворяющих этому уравнению. Все эти решения являются частными решениями уравнения Лапласа. Обычно частные решения являются функциями одной или нескольких переменных.
2. В большинстве случаев простым выбором параметров частного решения не удается удовлетворить всем граничным условиям, и тогда остается путь композиции решения, т.е. составления общего решения как суммы частных решений.
3. Поскольку уравнение Лапласа является уравнением линейным, то сумма частных решений будет также решением этого уравнения. Поэтому, если удается подобрать частные решения так, чтобы их сумма в целом удовлетворяла бы всем граничным условиям задачи, хотя каждое частное решение в отдельности этим условиям может не удовлетворять, и если эта сумма выражается конечным числом членов или сходящимся бесконечным рядом, то тем самым задача считается решенной.
3.7. Расчетные модели и основные принципы их построения
В математической физике – основном инструменте анализа физических полей – изучение явлений (объектов) природы осуществляется в рамках тех или иных моделей, в которых учитываются не все реальные факторы, определяющие явление или свойства объекта, а лишь наиболее существенные, определяющие с разной степенью подробности сущность изучаемого явления (объекта). В рамках такого рода моделей и рассматриваются задачи анализа физических полей, приводящие к уравнениям в частных производных.
В общем случае расчет любых физических полей базируется на рассмотрении тех или иных упрощенных систем – расчетных моделей, позволяющих определить параметры исследуемого поля с точностью, достаточной для решения соответствующих инженерных задач. Принципы построения таких расчетных моделей сводятся к следующему:
1) упрощение граничных условий для рассматриваемого поля. Упрощение реальных граничных условий конкретно заключается в сведении их к одному из типичных условий Неймана, Дирихле, Робена или в замене смешанных граничных условий однотипными;
2) замена реальных физических сред «идеальными» (идеальный проводник, идеальный диэлектрик, идеальный тепловой изолятор и т.д.). Такая замена оказывается правомерной в тех случаях, когда материальный параметр одной из указанных сред существенно отличается от того же параметра другой среды в рассматриваемой области поля;
3) идеализация геометрических форм области распространения поля. В инженерной практике это достигается двумя путями: выделением из анализируемой области более простых подобластей и заменой реальных граничных поверхностей упрощенными. При этом в первом случае стремятся выделить ту часть рассматриваемой области, которая представляет наибольший интерес при решении данной задачи. Такое выделение оказывается наиболее простым в ситуациях, когда материальные параметры сред в выделяемых подобластях существенно различны. Если же вся рассматриваемая область однородна, то выделение упрощенных подобластей оказывается более трудной задачей и требует дополнительного физического обоснования приближенных граничных условий для выделенной подобласти.
Следует отметить, что основные способы построения расчетных моделей не зависят от природы рассматриваемых полей, а сами расчетные модели во многих случаях оказываются общими для различных ситуаций.