3.5. Выбор системы координат при решении уравнений Лапласа и Пуассона

Итак, однозначное решение уравнений Лапласа и Пуассона требует задания граничных условий. Эти граничные условия выражаются аналитически наиболее кратко в том случае, когда форма граничных поверхностей соответствует форме координатных поверхностей. Говорят, что выбранная система координат должна быть адекватна исследуемой задаче:

а) при расчете поля между плоскостями, очевидно, удобна прямоугольная система координат Декарта;

б) при анализе поля с осевой симметрией преимущества имеет цилиндрическая система координат;

в) в случае симметрии относительно центра преимущества имеет сферическая система координат и т.д.

Отсюда становится ясным, что необходимо уметь составлять основные уравнения поля в любой системе координат, следовательно, знать выражение лапласиана в других (не декартовых) координатах. Таким образом, необходимо решить вопрос, как записывать лапласиан в различных системах координат и как проводить основные операции векторного анализа в этих координатах.

Существует пять основных систем координат в двумерном и трехмерном пространстве:

1) декартова прямоугольная система в двумерном пространстве;

2) декартова прямоугольная система в трехмерном пространстве;

3) полярные координаты в двумерном пространстве;

4) цилиндрические координаты в трехмерном пространстве;

5) сферические координаты в трехмерном пространстве.

Рассмотрим кратко основные из них.

Декартовы прямоугольные координаты

Р ис. 3.5. Декартова прямоугольная система координат

- координаты: x, y, z;

- элемент длины: ;

- градиент функции U: ;

- дивергенция функции F: ;

- уравнение Лапласа: . (3.24)

Цилиндрические координаты

Рис. 3.6. Цилиндрическая система координат

- координаты: r, , z;

- связь с декартовыми координатами: x=r Cos(), y=r Sin(), z=z;

- элемент длины: ;

- градиент функции U: ;

- дивергенция функции F: ;

- уравнение Лапласа:

. (3.25)

Сферические координаты

Рис. 3.7. Сферическая система координат

- координаты: R, , ;

- связь с декартовыми координатами: x=Rсos()in(θ); y=Rsin()sin();

z=Rcos().

- элемент длины ;

- градиент функции U: ;

- дивергенция функции F: ;

- уравнение Лапласа:

Полярные координаты

Рис. 3.8. Полярные координаты

- координаты: r, θ;

- связь с декартовыми координатами: r²=x²+y², x=rcosθ, y=rsinθ;

- уравнение Лапласа:

(3.27)

Из сравнения уравнений (3.24) – (3.27) следует, что только в декартовой системе координат уравнение Лапласа обладает постоянными коэффициентами. Этим объясняется, почему задачи в других системах координат решать труднее. К этим уравнениям с переменными коэффициентами все еще применим метод разделения переменных. Правда, получающиеся при этом ОДУ тоже будут с переменными коэффициентами. Так образуются уравнения Бесселя, уравнения Лежандра и другие, так называемые классические уравнения математической физики.