1.4. Типы уравнений с частными производными

ДУЧП можно классифицировать по ряду признаков. Классификация уравнений важна потому, что, как оказывается, для каждого класса существуют своя общая теория и методы решения уравнений. Используют шесть основных признаков, по которым производят классификацию уравнений:

1. Порядок уравнений. Порядком ДУЧП называется наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение.

Пример:

U_t = U_xx – уравнение второго порядка,

U_t = U_x – уравнение первого порядка,

U_t = U_xxx + tgX – уравнение третьего порядка.

2. Число переменных. Число переменных определяется по количеству независимых переменных.

Пример:

ДУЧП U_t = U_xx имеет две независимые переменные х и t,

ДУЧП U_t = U_xx +U_r имеет три независимых переменных t, x r.

Во всех приведенных примерах неизвестная функция U (которую дифференцируют) называется зависимой переменной.

Переменные, по которым происходит дифференцирование, называются независимыми переменными.

3. Линейность. ДУЧП бывают линейными и нелинейными.

В линейных ДУЧП зависимая переменная и все ее частные производные входят линейным образом, в частности, они не умножаются друг на друга, не возводятся в квадрат и т.д. Более точно, линейным ДУЧП второго порядка с двумя независимыми переменными называется уравнение вида

AU_xx + BU_xy + CU_yy +DU_x + EU_y + FU = G, (1.10)

где A, B, C, D, E, F, G – константы или заданные функции независимых переменных х и у.

Пример:

U_tt = e^-t U_xx + Cos (t) – линейное ДУЧП,

UU_xx + U_t = 0 – нелинейное ДУЧП,

X U_x = y U_y + U² = 0 – нелинейное ДУЧП.

4. Однородность. Уравнение (1.10) будет называться однородным, если первая часть G(x,y) тождественно равна нулю для всех x и у. Если G(x,y) ≠ 0, то уравнение (1.10) называется неоднородным.

5. Вид коэффициентов. Если коэффициенты A, B, C, D, E, F уравнения (1.10) постоянны, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами. В противном случае, уравнение с переменными коэффициентами.

В зависимости от соотношения между коэффициентами А, В, С все линейные уравнения с частными производными второго порядка (1.10) относятся к одному из трех типов:

а) параболический;

б) гиперболический,

в) эллиптический.

Параболический тип линейных дифференциальных уравнений с частными производными (ЛДУЧП) описывает процессы теплопроводности, диффузии и определяется условием

. (1.11)

Гиперболический тип ЛДУЧП описывает колебательные системы и волновые движения и определяется условием

. (1.12)

Эллиптический тип ЛДУЧП описывает установившиеся процессы и определяется условием

, (1.13)

Пример:

Уравнение – параболического типа.

Уравнение – гиперболического типа.

Уравнение – эллиптического типа.

В случае переменных коэффициентов тип уравнения может изменяться от точки к точке. Например, уравнение может менять свой тип в зависимости от значений :

Эллиптический тип при .

. Параболический тип при .

Гиперболический тип при .