13. 2. Метод сеток для задачи Дирихле
Первая краевая задача, или задача Дирихле для уравнения Пуассона, имеет математическую формулировку.
. (13.350)
Требуется
определить функцию u=u(x,y),
удовлетворяющую внутри области G
уравнению
и условию на границе (13.350), где
заданная
непрерывная функция.
Для решения поставленной задачи в соответствии с идеей метода, выбрав шаги h и l по x и y, соответственно, строим сетку
(13.351)
В
каждом внутреннем узле полученной сетки
заменяем производные
и
конечно-разностными отношениями (13.348)
и (13.349), а уравнение (13.350) – конечно-разностными
уравнениями
, (13.352)
где
.
Уравнение
(13.352) вместе со значениями
в граничных узлах образуют систему
линейных алгебраических уравнений
относительно значений функции
в узлах
.
Наиболее простой вид эта система
приобретает для прямоугольной области
и при h=l.
В этом случае уравнения (13.352) записываются
следующим образом:
. (13.353)
При
уравнения (13.350) и (13.353) переходят в
уравнения Лапласа, и соответствующие
конечно-разностные уравнения принимают
вид
. (13.354
При
составлении уравнений (13.353) и (13.354) была
использована схема узлов, изображенная
на рис. 13.48. 
Рис. 13.48. Простейший пятиточечный шаблон
Для облегчения запоминания разностной схемы полезно поставить соответствие ей «шаблон» - геометрическую картинку расположения узлов сетки, значения в которых связывает разностное уравнение при некоторых фиксированных значениях i и k. На рис. 13.48 представлен наиболее распространенный пятиточечный шаблон.
Погрешность приближенного решения, полученного разностным методом, складывается из трех составляющих:
погрешности замены дифференциального уравнения разностным;
погрешности аппроксимации краевых условий;
3) погрешности, получаемой в результате того, что система разностных уравнений решается приближенным методом.
Для
оценки погрешности приближенного
решения оправдан, хотя и строго не
доказан, следующий прием. Пусть
– приближенное решение при шаге 2h;
– приближенное решение при шаге h;
–
погрешность решения. Тогда имеет место
приближенное равенство
(13.355)
в общих узлах сеток. Следовательно, чтобы определить погрешность приближенного решения при шаге h, нужно найти решение при шаге 2h. Одна треть разности этих приближенных решений и является оценкой погрешности решения при шаге h.
Главным преимуществом численных методов решений является то, что их можно получить даже в том случае, когда аналитическое решение невозможно, а сведение уравнений в частных производных к системам алгебраических уравнений позволяет использовать ЭВМ для решения задач анализа и моделирования физических полей.
Библиографический список
1. Анго А. Математика для электро - и радиоинженеров. М.: Наука, 1966. 772 с.
2. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984. 384 с.
3. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1985. 384 с.
4. Будак Б.М. Сборник задач по математической физике / Б.М. Будак,
А.А. Самарский, А.Н. Тихонов. М.: Наука, 1972. 688 с.
5. Иоссель Ю.Я. Расчет потенциальных полей в энергетике. Л.: Энергия, 1978. 351 с.
6. Булах Е.Г. Основы векторного анализа и теории поля / Е.Г. Булах, В.Н. Шуман. Киев.: Наукова думка, 1998. 360 с.
7. Домбровский В.В. Справочное пособие по расчету электромагнитного поля в электрических машинах. Л.: Энергоатомиздат, 1983. 256 с.
8. Татур Т.А. Основы теории электромагнитного поля. Справочное пособие. М.: Высш. шк., 1989. 272 с.
9. Туровский Я. Электромагнитные расчеты элементов электрических машин. М.: Энергоатомиздат, 1986. 200 с.
10. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. М.: Высш. шк., 1986. 264 с.
11. Маделунг Э. Математический аппарат физики. М.: Наука, 1968. 619 с.
12. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 576 с.
12. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г.Корн, Т. Корн. М.: Наука, 1974. 832 с.
Учебное издание
Игорь Игориевич Мильман
Методы анализа потенциальных физических полей
Редактор издательства – О.С.Смирнова
Компьютерная верстка
___________________________________________________________________________
Подписано в печать 08.07.2005 Формат 60х84 1/16
Бумага типографская Плоская печать Печать офсетная
Уч.- изд. л. 6,5 Усл. печ.л. 6,8
Тираж 100
Заказ Цена «С»
___________________________________________________________________________
Редакционно – издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ-УПИ