13. Численное решение уравнений с частными производными
Многие прикладные и теоретические задачи анализа физических полей приводят к уравнениям в частных производных, получить решения которых в явном виде, в виде конечной формулы с помощью элементарных или специальных функций в большинстве случаев невозможно. В связи с этим получают широкое распространение численные методы решения краевых задач. Под численными методами понимают решения, полученные численно после приближенной замены исходного уравнения другим, более простым уравнением. Наиболее распространенными численными методами решения краевых задач являются метод конечных разностей и метод конечных элементов. Мы остановимся только на первом из них.
13.1. Основные понятия метода сеток
Метод сеток или метод конечных разностей (МКР) является одним из самых распространенных в настоящее время методов численного решения уравнений с частными производными. В его основе лежит идея замены производных конечно-разностными отношениями. Мы ограничимся краевыми задачами для линейных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными в области G с границей Г
(рис. 13. 47). Итак, в плоскости XOY имеется некоторая область G с границей Г. Построим на плоскости два семейства параллельных прямых
Рис. 13.47. Область двух независимых переменных G с границей Г
Точки пересечения этих прямых называются узлами. Два узла называются соседними, если они удалены друг от друга в направлении оси ОX или ОY на расстояние, равное шагу сетки h или l соответственно.
Выделим узлы, принадлежащие области G + Г, а также некоторые узлы, не принадлежащие этой области, но расположенные на расстоянии меньшем, чем шаг от границы Г. Те узлы, у которых все четыре соседних узла принадлежат выделенному множеству узлов, называются внутренними (узел А). Оставшиеся из выделенных узлов называются граничными (узлы В, С, рис. 13.47).
Значения
искомой функции
в узлах сетки обозначим через
.
В каждом внутреннем узле
заменим частные производные разностными
соотношениями
(13.346)
В граничных точках приходится пользоваться менее точными формулами
(13.347)
Аналогично заменяются частные производные второго порядка. Вторая производная uxx в точке (i, k) приблизительно равна разности средних значений производных ux на участках (i+1,i) и (i+1,i), отнесенных к расстоянию h между серединами отрезков (i+1,i) и (i-1,i).
.
(13.348)
Аналогично
.
(13.349)
Указание замены производных в каждом узле сетки позволяют свести решение уравнений с частными производными к решению системы разностных уравнений.