12. 2. Определение конформного отображения

Отображение комплексной плоскости Z на комплексную плоскость W называется конформным в точке z₀ плоскости Z, если производная или отображение называется конформным в области D, если в каждой точке области D. Например, отображение конформно всюду, за исключением точки z=0, поскольку для всех . Отображение конформно во всей плоскости Z, так как всюду .

З амечательным фактом является следующее. Если отображение является конформным в области, где задано уравнение , то новое уравнение будет уравнением Лапласа в координатах u и v. Отсюда вытекает сущность метода: необходимо найти такое конформное отображение, которое переводит область со сложной границей в область с простой границей.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть требуется найти потенциал между двумя окружностями

Потенциал во внутренней окружности равен единице, а на внешней – двум (рис. 12. 45).

УЧП внутри D.

ГУ на , (12.336)

на .

Решение

1. Задача сводится к нахождению конформного отображения, которое переводит заданную область в какую-то более простую, где поставленная задача решается легко. В данном конкретном случае очевидно, что эта простая область должна быть кольцом. Вид соответствующего отображения неочевиден. Для нахождения всевозможных отображений имеются справочники, в которых содержатся сотни конформных отображений между различными областями.

2. В нашем частном случае отображение будет иметь вид

, (12.337)

где s = -0,146 и t = -6,85.

В эквивалентной действительной форме это будет

или

.

Вводя обозначение , получим

(12.338)

3. Под действием этого конформного отображения область между неконцентрическими окружностями перейдет в кольцо (рис. 12.46), границы которого задаются уравнениями

(12.339)

Рис. 12. 46. Конформное отображение области D (рис. 12.45)

Для проверки соотношений (12.339) необходимо из системы (12.338) найти , , подставить найденные функции в систему (12.339), убедиться, что искомыми отображениями являются окружности, радиусы которых равны, соответственно, 1 и 2,62.

4. Таким образом, в результате применения конформного отображения приходим к задаче Дирихле внутри кольца:

УЧП область D (кольцо)

ГУ на

на (12.340)

5. Радиально-симметричное решение уравнения Лапласа имеет вид

. (12.341)

По первому граничному условию (12.340)

.

.

. (12.342)

По второму граничному условию (12.340)

(12.343)

Общее решение в координатах :

. (12. 344)

Если вернуться к начальным координатам x и y , то решение исходной задачи:

, (12.345)

где u и v определяются из соотношений (12.338).

Метод конформных отображений имеет ограниченные возможности, поскольку он применим только к двумерному уравнению Лапласа, а с небольшим дополнением – и к уравнению Пуассона.