12. Решение уравнений с частными производными методом конформных отображений

Одной из главных трудностей, возникающих при решении краевых задач, является сложность формы границ. Даже в случае границ сравнительно простой формы задачи являются трудными для решения.

Способ, основанный на конформных отображениях, разработан для решения двумерного уравнения Лапласа в областях со сложной границей.

Идея метода заключается в том, что некоторые двумерные краевые задачи с помощью конформного отображения можно преобразовать в другие, более простые задачи. Предположим, например, что требуется решить уравнение Лапласа с граничным условием в области сложной формы. Эту задачу можно преобразовать в новую задачу, в которой надо найти решение уравнения Лапласа в более простой области

(рис. 12.43).

Область сложной Область простой

формы формы

Y V

Конформное отображение

X U

Рис. 12.43. Идея метода конформных отображений

При конформном отображении уравнение Лапласа в координатной плоскости (X, Y) снова переходит в уравнение Лапласа в координатной плоскости (U,V). Заметим, что другие уравнения этим свойством не обладают. После того, как найдено решение уравнения Лапласа в простой области (U,V) (например, в круге, полуплоскости, квадрате), достаточно подставить в это решение выражения U=U(x,y) и V=V(x,y). В результате получаем решение поставленной задачи , выраженное через исходные переменные. Практическое освоение метода требует знакомства с рядом понятий теории функций комплексного переменного.

12.1. Понятие функции комплексного переменного

Представим комплексное число как точку на комплексной XY-плоскости (рис. 12.44).

Представляя координаты в комплексной форме , можно образовать функцию этих координат как функцию комплексного переменного , где z – комплексное переменное из некоторой области в плоскости Z, а w – новое комплексное переменное, которое будет получать значения в новой комплексной плоскости . Или

,

где вещественная u и мнимая v составляющие представляют собой функции двух координат x и y , т.е. и .

Пусть, например, . Это значит, что . Поэтому и . С помощью этих формул устанавливается соответствие между отображением и некоторыми точками плоскостей Z и W (табл. 12.3).

Таблица 12.3

Плоскость Z, координаты точек и		Плоскость W, координаты точек и
0 (0,0) i (0, 1) 1 + i (1, 1) ось x (x, 0) первый квадрант		(0, 0) (-1, 0) (0, 2i) положительная действительная полуось верхняя полуплоскость

Таким образом, если мы говорим о функциях комплексного переменного , то можно ставить вопрос о том, как кривые (границы) в плоскости Z переходят в кривые в плоскости W.