1.1. Постановка задач по расчету потенциальных полей
Расчет физических полей в общем случае сводится к определению некоторых скалярных, векторных или тензорных функций, характеризующих пространственное и временное распределения рассматриваемого поля. Это совпадает с математическими понятиями скалярного, векторного и тензорного полей. Говорят, что в некоторой области пространства задано скалярное, векторное или тензорное поле, если каждой точке этой области становится в соответствие некоторый скаляр, вектор или тензор.
Если рассматриваемое физическое поле не зависит от времени (стационарное поле), то расчет его целиком сводится к определению соответствующих скалярных, векторных и тензорных полей, понимаемых в указанном выше смысле.
1. 2. Элементы теории уравнений с частными производными
Уравнения с частными производными – это уравнения, содержащие частные производные.
В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), в которых неизвестная функция зависит только от одной переменной, в УЧП неизвестная функция зависит от нескольких переменных, например, температура Т(х, t) зависит от координаты х и времени t.
Частная производная функции нескольких переменных
первого порядка.
Если U= f(x,y,z,…t) –функция нескольких переменных, то частная производная по одной из них, например по х, определяется так:
.
(1.1)
Как видно из (1.1), приращение получает лишь одна из независимых переменных, остальные рассматриваются как постоянные.
Функция n переменных имеет n частных производных первого порядка
.
Частная производная находится по
правилам дифференцирования функции
одной переменной, причем остальные
переменные рассматриваются в данном
случае как постоянные.
Пример:
.
Частная производная функции нескольких переменных
второго порядка.
Частная производная второго порядка от функции U=f(x,y,z, …t)
может быть взята:
а) по той же переменной, что и первая
;
(1.2)
б) по другой переменной
.
(1.3)
В этом случае производная называется смешанной.
Величина смешанной производной, непрерывной при данных значениях х и у, не зависит от порядка переменных, по которым берутся производные:
.
(1.4)
Частные производные более высокого порядка определяются аналогично:
.
(1.5)
В литературе можно встретить следующие обозначения частных производных:
Таким образом,
.
(1.6)
1. 3. Дифференциальное уравнение
Пусть функция y=f(x) отражает количественную сторону некоторого физического явления. Часто, изучая это явление, мы не можем непосредственно установить характер зависимости у от х, но можем установить зависимость между величинами х, у и производными от у по х: y’, y’’, … y(n), другими словами, составить дифференциальное уравнение. Из полученной зависимости между переменными х, у и производными y’, y’’, … y(n) требуется установить непосредственную зависимость у от х, т.е. найти у=f(x) или, как говорят, проинтегрировать дифференциальное уравнение.
Таким образом, дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию у=f(x) и ее производные y’, y’’, … y(n). Символически это записывают так:
(1.7)
или
.
(1.8)
Если искомая функция у=f(x) – функция одной независимой переменной (в данном случае х), то дифференциальное уравнение (1.7) и (1.8) называется обыкновенным (ОДУ).
В отличие от ОДУ дифференциальным уравнением в частных производных (ДУЧП) называется соотношение между неизвестной функцией U, зависящей от двух или нескольких переменных и частных производных от U по этим переменным.
Пример ДУЧП:
.
(1.9)