7. 3. Применение метода зеркальных изображений для расчета магнитных полей, создаваемых токами, протекающими вблизи ферромагнитных масс

1. Постановка задачи. Допустим, что в вакууме или в какой-либо другой среде с магнитной проницаемостью параллельно плоскости раздела сред проходит провод с током. Требуется найти напряженность магнитного поля в любой точке первой и второй сред (рис. 7.32).

2. К действительному проводнику с током , расположенному параллельно поверхности раздела сред 1 и 2 с проницаемостями и , добавляем два фиктивных тока и , причем ток расположен в том же месте, что и ток , а ток расположен симметрично току по другую сторону граничной плоскости (рис. 7.33).

3. Значения токов и можно подобрать так, чтобы заменить:

а) поле тока в области 1 в присутствии среды 2 полем двух параллельных токов и , расположенных в среде 1, заполняющей обе области 1 и 2 (рис. 7.33а). На рис.: – напряженность магнитного поля, индуцированного током ; – напряженность магнитного поля тока ; – тангенциальные составляющие поля, в скобках указаны соответствующие источники поля; – нормальные составляющие индукции магнитного поля, в скобках указаны их источники (к=0;1;2).

Рис. 7.32. К расчету магнитного поля, создаваемого током, протекающим вблизи ферромагнитных масс

Рис. 7.33а. К расчету поля в верхней Рис. 7.33б. К расчету поля в нижней

полуплоскости полуплоскости

Значение фиктивного тока находим исходя из правила единственности поля, определенного граничными условиями:

; . (7.235)

Из рис. 7.33а составляющие и находят так:

= - ,

= + ; (7.236)

б) поле тока в области 2 в присутствии среды 1 определяется полем тока - , расположенного в среде 2, заполняющей все пространство (рис. 7.33б). Из этого же рис. следует, что составляющие и можно записать

= ,

(7.237)

= .

4. Значения фиктивных токов и находим из граничных условий (7.236) и закона полного тока: , .

Отсюда из рис. 7.33а

= ,

(7.238)

= .

Из рис. 7.33б

= ,

(7.239)

= .

В соответствии с (7.235):

а) = ;

; (7.240)

;

б) = ;

;

; (7.241)

в) . (7.242)

Таким образом, найденные значения фиктивных токов равны = . Как видно, направление фиктивных токов относительно действительного зависит от соотношения и . Для расчета поля в любой точке пространства по описанной методике находят значения фиктивных токов и , затем на основании закона полного тока рассчитывают поля в заданной точке пространства.

8. Метод наложения

Физической основой метода является принцип наложения (суперпозиции), т.е. принцип независимого действия: поля зарядов 1,2,3,… .n складываются, причем поле каждого из зарядов остается таким же, каким оно было бы в отсутствие других.

Если распределение источника поля, например, электрического заряда, в пространстве задано, то, разделив этот заряд на бесконечно малые элементы и считая их точечными, можно определить потенциал и напряженность поля по формулам

, (8.243)

. (8.244)

Складывая алгебраически величины , потенциал в любой точке поля можно получить по формуле

. (8.245)

Напряженность электрического поля определяется как

=- (8.246)

или

= . (8.247)

Рассмотрим конкретный пример. Положительный заряд равномерно распределен по кольцевой линии радиуса . Требуется определить потенциал и напряженность электрического поля точек, лежащих на оси

(рис. 8.34).

Рис. 8.34. Определение потенциала поля кольцевого заряда

1. Выделим на кольцевой линии элемент . Линейная плотность заряда определяется отношением . Тогда элемент кольцевой линии с зарядом создает в точке А потенциал, равный

. (8.248)

2. Потенциал, создаваемый полным зарядом заряженного кольца в точке А,

. (8.249)

3. Расстояние от любого элементарного заряда до точки А равно , поэтому потенциал в искомой точке будет равен

. (8.250)

4. Напряженность поля определится

= = . (8.251)

5. Проведем анализ выражений (8.250) и (8.251):

а) в центре кольца , , – принимает максимальное значение;

б ) при >> , , , что совпадает с электрическим полем точечного заряда на том же расстоянии. Качественные зависимости потенциала и поля от расстояния по оси представлены на

рис. 8.35. Как видно из рисунка, поле обладает осевой симметрией и симметрией относительно плоскости разделения заряда. Поэтому потенциал точек, лежащих на оси, зависит только от координаты Z, а вектор имеет только одну проекцию .

В примере был использован метод наложения: суммирование потенциалов от элементарных зарядов свелось к интегрированию простых функций. Целесообразность и возможность применения метода наложения обусловлены возможностью интегрирования простых функций.