7. 2. Общий случай расчета электростатического поля вблизи плоской границы двух сред

Пусть в точке М среды 1 с материальной характеристикой вблизи ее плоской границы со средой 2 с материальной характеристикой расположен точечный источник (рис. 7.29). Вследствие поляризации диэлектриков на границе раздела выявятся связанные заряды, влияющие на поле в обеих средах. Учет влияния их на поле проводят путем введения двух дополнительных фиктивных зарядов и .

Необходимость введения двух зарядов- изображений обусловлена тем, что в отличие от предыдущей задачи (в которой надо было удовлетворить только одному условию , и это можно было сделать с помощью одного заряда) в данном случае требуется удовлетворить двум граничным условиям, что возможно с помощью двух, пока неизвестных, зарядов-изображений и .

Задача построения и расчета поля может быть решена путем помещения на расстоянии в среде 2 заряда-изображения и наложения на действительный заряд дополнительного заряда-изображения .

З аряды-изображения не учитываются при расчете поля в той среде, где данное изображение помещено. Так, поле в среде 2 задается зарядом , расположенным в той же точке, где находился заряд , а поле в среде 1– зарядами и . Таким образом, линии поля в среде 2 радиальны по отношению к заряду , в среде 1 линии поля изогнуты, поскольку они созданы системой двух зарядов равной величины и .

Рис. 7.29. Электростатическое

поле заряда + , находящегося

вблизи поверхности раздела

двух диэлектриков

Итак, расчет поля в любой точке верхней полуплоскости производят от двух зарядов: заданного и фиктивного . При этом считается, что не только верхнее, но и нижнее полупространство в расчетном смысле заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью (рис. 7.30). Здесь – поле, созданное зарядом , – тангенциальная составляющая поля заряда ; – поле, созданное зарядом , – тангенциальная составляющая поля заряда . Все величины относятся к полю в верхней полуплоскости, т.е. к среде 1.

Рис. 7.30. К расчету поля в верхней полуплоскости

Поле в любой точке нижнего полупространства определяют как поле от фиктивного заряда-изображения , расположенного в той же точке, что и заряд . В этом случае все пространство заполняется диэлектриком с диэлектрической проницаемостью (рис.7.31). Здесь – поле, созданное фиктивным зарядом ; – тангенциальная составляющая этого поля в нижней полуплоскости, т.е. в среде 2.

Рис. 7.31. К расчету поля в нижней полуплоскости

Из условия равенства тангенциальных составляющих напряженности электрического поля на границе раздела двух сред следует, что

+ = (7.230)

или

.

Отсюда

+ = . (7.231)

Из условия равенства нормальных составляющих вектора на границе раздела, учитывая направление нормали к границе раздела сред, (см. рис. 7.30 и 7.31), запишем или в развернутом виде

; - = . (7.232)

Решая совместно уравнения (7.231) и (7.232), получим

= ; = . (7.233)

(7.234)

Из (7.233) и (7.234) видно, что знак заряда совпадает со знаком заряда , если > , а знак заряда всегда совпадает со знаком заряда .