7. Метод зеркальных изображений

Метод зеркальных изображений (отражений) разработан с целью расчета потенциальных полей при простой форме границ существенно разнородных сред и заданном распределении источников поля. С его помощью можно решать некоторые электростатические и магнитостатические задачи без применения дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона. Теоретическим обоснованием метода зеркальных изображений является теорема о единственности поля для электрических и «магнитных» зарядов, а также для постоянных токов. Благодаря аналогии между электростатикой и магнитостатикой метод зеркальных изображений применим для определения магнитного поля токов.

7.1. Принцип метода

Идея метода заключается в том, что вместо неоднородной среды рассматривается однородная среда, влияние неоднородности учитывается введением фиктивных зарядов. Определив векторы поля от совместного действия заданных и фиктивных зарядов, записывают граничные условия основной задачи и, пользуясь ими, находят искомые векторы поля. Такой искусственный метод расчета носит название метода зеркальных изображений.

Рассмотрим конкретный пример. Пусть требуется найти поле точечного заряда в точке А в присутствии проводника, имеющего плоскую границу и занимающего полупространство . Пластину считаем бесконечной и, кроме того, заземленной, поэтому индуцированный заряд на обратной ее стороне существовать не может (рис. 7.27).

Из-за электростатической индукции на поверхности проводящего тела выступают заряды. Плотность их меняется с изменением координаты .

Рис. 7.27. Точечный заряд в при- сутствии плоской проводящей пластины

Поэтому поле в диэлектрике создается не только зарядом , но и зарядами, выступившими на поверхности проводящего тела вследствие электростатической индукции. Распределение плотности зарядов на поверхности проводящей среды неизвестно, в этом заключается основная трудность решения задачи, обход которой осуществляется методом зеркальных изображений. Поместим в точку фиксированный заряд обратного знака ( ) по отношению к заданному заряду . Расстояние от точки до плоскости раздела сред такое же, как и расстояние от действительного заряда до плоскости раздела. В этом смысле и осуществляется зеркальное изображение. Искомое поле должно обладать следующими свойствами:

1) удовлетворять уравнению Лапласа для всего свободного от зарядов пространства над плоскостью;

2) удовлетворять граничным условиям, а именно:

а) заданным значениям зарядов или потенциалов на заряженных телах;

б) постоянству потенциала на плоскости, значение которого можно, не нарушая общности решения, в большинстве случаев положить равным нулю;

в) вдали от проводника нет искажения исходного поля, и потенциал в точке наблюдения должен совпадать с потенциалом этого поля.

Если бы проводящая пластина отсутствовала, то заряд создавал бы в точке А потенциал . Индуцированные на поверхности проводника заряды создают в точке А дополнительный потенциал , равный . Таким образом, измененный потенциал , т.е.

. (7.223)

Н апряженность поля от двух зарядов ( и ) в любой точке границы раздела имеет только нормальную к границе составляющую и не имеет тангенциальной составляющей. Действительно, тангенциальные составляющие от обоих зарядов имеют противоположные направления и в сумме дают нуль в любой точке поверхности (рис.7.28). Теперь найдем распределение зарядов на плоскости. Для составляющей электрического поля, нормальной к плоскости, имеем ( ):

. (7.224)

И

Рис. 7. 28. Два точечных заряда в проводящей среде

так, полагая, что действие всей заряженной плоскости при эквивалентно действию одного точечного заряда , расположенного в нижней плоскости, мы составили функ-

цию (7. 223). Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа , причем отвечающее ей поле удовлетворяет граничным условиям электростатики, а именно, и обращается в нуль при . Можно утверждать, что потенциал искомого поля определяется функцией (7.223).

Поскольку все необходимые условия выполнены, то . А так как электростатическая задача имеет единственное решение, то можно быть уверенным в том, что найденное решение правильно.

Выражение (7.224) может быть преобразовано, если выразить и через , и , где – высота расположения заряда над плоскостью. Из рис. 7.28:

= , (7.225)

= .

Если проделать все расчеты по уравнению (7.224), то можно получить

= . (7.226)

Для точек, расположенных на плоскости, т.е. и ,

. (7.227)

Для любой точки оси х, – это расстояние от заряда над плоскостью до искомой точки поверхности, обозначим его b. Следовательно,

. (7.228)

Поверхностная плотность заряда, индуцированного на проводящей пластине,

. (7.229)

Таким образом, из уравнения (7.229) следует, что плотность индуцированного заряда убывает обратно пропорционально кубу расстояния от точечного заряда до соответствующей точки на плоскости.

Резюмируя, можно отметить, что метод изображений по сути основан на подгонке искомого потенциала под граничные условия: мы стремимся найти другую конфигурацию зарядов (относительно заданной), у которой конфигурация поля в интересующей нас части пространства была бы той же. Если это удается сделать с помощью достаточно простых конфигураций, то метод оказывается достаточно эффективным.