6.3. Простейший пример использования метода конечных интегральных преобразований

y

b Рис. 6.25. Простейшая расчетная модель для

анализа двумерного поля методом конечных

U=U0 U=0 интегральных преобразований

U=o a x

Пусть требуется найти распределение потенциала для расчетной модели, изображенной на рис. 6.25.

Решение

1. На первом этапе необходимо, как и в методе разделения переменных, определить собственные числа и собственные функции краевой задачи. Однако, как было отмечено выше, определение собственных функций может быть осуществлено только при однородных условиях на границах интервала изменения в рассматриваемой области хотя бы одной координаты. В данном случае это условие не выполняется (на границах изменения x потенциал принимает значения U0 и 0, на границах изменения y – 0 и U0 f(x)).

Поэтому для определения собственных функций используем вспомогательную расчетную модель, в которой граничные условия по одной (любой) из двух координат заменяем однородными условиями того же вида, что и заданные, т.е. одну из двух переменных (x или y) выбираем в качестве основной. Если выбрать за основную переменную x, то вспомогательная расчетная модель примет вид, изображенный на рис. 6.26.

у Рис. 6.26. Вспомогательная расчетная модель для

b определения собственных функций

U=0 U=0

U=0

x

2. Выражение для искомого потенциала U(x,y) будем искать в виде разложения в ряд по собственным функциям (одно из свойств собственных функций)

, (6.197)

где – неизвестная функция переменной y.

3. Обе части равенства (6.197) умножим на и проинтегрируем по x в пределах от 0 до а, получим

. (6.198)

Предполагая возможность почленного интегрирования этого ряда, на основании (5.53) - (5.55) можно записать

0 , при

, при p=m. (6.199)

Отсюда следует, что ряд, содержащий этот интеграл, имеет лишь один ненулевой член при p=m , что дает следующее выражение:

. (6.200)

Введем обозначение

, (6.201)

тогда , . (6.202)

Поскольку – функция одной переменной y, а искомый потенциал U(x,y) – функция двух переменных x и y, то задача определения проще, чем непосредственный расчет U(x,y).

Мы провели интегральное преобразование (6.201), и поэтому следующий этап расчета заключается в переходе от задачи определения к задаче расчета функции , которую обычно называют интегральной трансформантой.

4. Для отыскания уравнения и граничных условий, которым удовлетворяет функция , вернемся к исходной расчетной модели, где потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа:

(6.203)

и граничным условиям

, , (6.204)

, .

Проведем над уравнением Лапласа конечное интегральное преобразование, т.е. умножим обе его части на и проинтегрируем почленно по от до .

. (6.205)

Первый член в левой части этого уравнения дважды интегрируем по частям в соответствии с формулой, известной из курса высшей математики:

. (6.206)

В нашем случае

; ; .

(6.207)

.

С учетом граничных условий, заданных при и , и введенных обозначений (6.201)

; ;

. (6.208)

Второе слагаемое в левой части уравнения (6.205) может быть представлено в виде

. (6.209)

С учетом (6.208) и (6.209) уравнение (6.205) превращается в ОДУ относительно функции :

. (6.210)

Уравнение (6.210) получено при использовании метода конечных интегральных преобразований с ядром в виде собственных функций соответствующей однородной задачи, получаемой путем замены неоднородных граничных условий по выбранной переменной соответствующими однородными уравнениями и перехода от уравнений Пуассона к уравнению Лапласа.

5. При выводе уравнения (6.210) используемые при интегрировании граничные условия для по переменной сохранились такими же, как в исходной расчетной модели (6.204). Проведя интегральные преобразования над граничными условиями для , заданными по второй переменной, получим граничные условия для : ; , где

. (6.211)

6. Решение уравнения Пуассона для (6.210) по методу Г.А.Гринберга отыскивается не как сумма общего решения уравнения Лапласа и частного решения уравнения с правой частью. Здесь используются такие частные решения однородного уравнения, которые обращаются в нуль при и , соответственно. Итак, если найти общее решение однородного уравнения

, (6.212)

то оно в соответствии с (5.65) и (5.67) будет

. (6.213)

При в соответствии с (211) , т.е.

. (214)

Отсюда .

Итак, одно частное решение однородного уравнения (6.212), удовлетворяющее граничному условию при , имеет вид

. (6.215)

Второе частное решение уравнения (6.212), удовлетворяющее граничному условию при , можно сконструировать из первого, т.е. из (6.215) так:

. (6.216)

Частное решение однородного уравнения (6.212) для окончательно можно записать

. (6.217)

Частное решение неоднородного уравнения (210) ищем в виде , где .

Подставим в уравнение (6.210), получим

,

откуда

. (6.218)

Таким образом, интегрирование уравнения (6.210) дает

. (6.219)

7. Коэффициенты и определяются из граничных условий для (6.211). Используя первое из условий , находим коэффициент :

,

. (6.220)

Используя второе граничное условие для функции , , определяем коэффициент :

,

. (6.221)

Окончательное решение для теперь, зная коэффициенты и , можно записать

или после несложных преобразований:

. (6.222)

8. Пользуясь соотношениями (6.202) и (6.222), определим функцию

. (6.223)

9. Искомый потенциал определяется соотношением (6.197):

.

(6.224)

Комментарии к уравнению (6.224):

1. Первое слагаемое в правой части решения (6.224) совпадает с решением задачи в разделе 6.2 (выражение (6.195)), полученным методом разделения переменных при однородных граничных условиях по . Оно является решением соответствующей однородной задачи и может быть обозначено как .

2. Второе слагаемое в правой части выражения (6.224) учитывает влияние неоднородных граничных условий по , в частности, при .

3. При , как видно, найденное выражение для оказывается равным нулю, а не , как задано условиями задачи. Это несоответствие связано с тем, что выражение (6.224) представляет собой ряд Фурье искомой функции распределения потенциала и на границе может не представлять саму эту функцию. Другими словами, мы имеем дело с рядом, обладающим неравномерной, а следовательно, и медленной сходимостью.

4. Для устранения отмеченного в п. 3 несоответствия могут быть использованы известные методы улучшения сходимости рядов. Наиболее простой из них заключается в том, что к полученному решению прибавляется линейная функция основной переменной, удовлетворяющая требуемым граничным условиям, например, , равная при и нулю при . Одновременно из решения вычитается разложение этой же функции в ряд по собственным функциям, в данном случае

.

Тогда выражение для искомого потенциала принимает вид

, (6.225)

где

. (6.226)

В отличие от решения (6.224) формула (6.225) содержит ряды, обладающие лучшей сходимостью во всей рассматриваемой области.

5. Анализ этапов решения задачи показывает, что начальная стадия совпадает с соответствующими этапами расчета по методу разделения переменных, а результаты последующих этапов для инженерной деятельности могут быть систематизированы для различных типов граничных условий и форм областей.

Такие систематизированные материалы и приемы их использования при расчете двумерных потенциальных полей приведены в книге Иосселя Ю.Я.