5.4. Краткая характеристика метода разделения переменных

Метод разделения переменных (метод Фурье) применяется при расчете потенциальных полей, удовлетворяющих уравнениям Лапласа, внутри областей, ограниченных координатными поверхностями какой-либо ортогональной системы координат, если выполняются следующие условия:

1) Вид координатной системы в общем случае q₁, q₂, q₃ должен быть таков, чтобы решение могло быть представлено в виде функции , где - функция, зависящая только от одной из координат.

2) Рассматриваемые области поля должны соответствовать конечному интервалу изменения хотя бы одной координаты.

3) Граничные условия рассматриваемых задач должны быть однотипными или координатно-однотипными условиям первого, второго или третьего рода. В граничных условиях третьего рода коэффициент при производной по координате должен быть постоянным в пределах каждой координатной поверхности.

4) На ограничивающих рассматриваемую область координатных поверхностях (q_i = const) должны быть заданы однородные граничные условия первого, второго или третьего рода.

Сформулированные условия применимости метода разделения переменных иллюстрируются примерами расчетных моделей, не допускающих и допускающих использование метода.

Рис. 5.18. Расчетная модель №1

Расчетная модель №1, представленная на рис. 5.18, не допускает использования метода разделения переменных, вне зависимости от вида заданных граничных условий, поскольку она образована координатными поверхностями различных координатных систем - прямоугольной (поверхности 1, 2, 3) и цилиндрической (поверхность 4).

Расчетная модель №2, приведенная на рис.5.19, при любом виде граничных условий, не допускает использования рассматриваемого метода, так как в изображенной области координаты x и y изменяются в бесконечном x интервале.

y

Рис. 5.19. Расчетная модель №2

х

U=0

Рис. 5.20. Расчетная модель №3

0 a b

Расчетная модель №3, изображенная на рис. 5.20, удовлетворяет всем необходимым требованиям к форме областей, но для нее не выполняются сформулированные выше требования к граничным условиям. В частности, на одной из сторон задано граничное условие с переменным коэффициентом при производной.

y

U=0

b Рис. 5.21. Расчетная модель №4

0 U=0 x

Расчетная модель №4 (рис. 5.21) также удовлетворяет требованиям к форме координатных поверхностей. Но на стороне х = 0 заданы условия разных типов, что противоречит условию пункта 4 применимости метода разделения переменных.

y

b

U=0 Рис. 5.22. Расчетная модель №5

U=0

0 a x

Расчетная модель №5 (рис. 5.22) иллюстрирует неприменимость метода из-за нарушения требования к однородности граничных условий на координатных поверхностях. В частности, однородные условия расчетной модели №5 выполняются на координатных поверхностях разных семейств, x=сonst и y=const.

y

U=0

b Рис. 5.23. Расчетная модель №6

U=0 U=0

0 х

a

Расчетная модель №6 (рис. 5.23) удовлетворяет требованиям к условиям применимости метода разделения переменных. Как следует из обсуждения приведенных вариантов расчетных моделей, требование к обязательной однородности граничных условий в ряде случаев ограничивает метод разделения переменных.