5.3. Решение уравнения Лапласа в сферической системе координат

1. Уравнение Лапласа в сферической системе координат (r,θ,φ)

. (5.115)

2. Будем искать частное решение этого уравнения в виде

. (5.116)

3. Поступая так же, как и при разделении переменных в двух рассмотренных ранее случаях, получим два уравнения. Первое уравнение образуется из левого слагаемого уравнения (5.115). После разделения переменных обозначим его через K²:

или

. (5.117)

Второе уравнение записывается после преобразования второго и третьего слагаемых основного уравнения (5.115)

. (5.118)

После деления на второе слагаемое примет вид

. (5.119)

Третье слагаемое в уравнении Лапласа после дифференцирования, подстановки и деления на произведение запишется

. (5.120)

Второе слагаемое, т.е. уравнение Лапласа после преобразования слагаемых в уравнении (5.115), запишется так:

. (5.121)

Обе части этого уравнения умножим на произведение , получим

=0. (5.122)

Итак, мы получили два уравнения (5.117) и (5.122).

4. Положим теперь, что и осуществим подстановку этого выражения в уравнение (5.122), тогда в результате дифференцирования

. (5.123)

После деления обеих частей уравнения (5.123) на произведение

. (5.124)

В уравнении (5.124) обозначим второе слагаемое

. (5.125)

И, кроме того, обе части (5.124) умножим на , получим

. (5.126)

5. Рассмотрим уравнение (5.125). Это уравнение имеет решение, аналогичное полученному при решении уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат

. (5.127)

6. В сферической системе координат большинство практически важных физических полей симметрично относительно оси , т.е. не зависят от угла . Другими словами, для них , т.е. , а это возможно только при , т.е.

.

Тогда уравнение (5.126) примет вид

. (5.128)

Уравнение (5.128) в математической физике имеет специальное название – уравнение Лежандра. Про это уравнение известно, что его решения, непрерывные на отрезке [-1, 1], или, что то же самое, в области , имеются только при значениях , где – произвольные, целые, неотрицательные числа. Этими решениями являются многочлены Лежандра . Их еще называют сферическими функциями, не зависящими от переменной . Совокупность многочленов Лежандра исчерпывает все непрерывные и ограниченные в области решения уравнения (5.128) при условии , где

Таким образом, уравнение (5.128) теперь запишется как

. (5.129)

Решением этого дифференциального уравнения является специальная функция, называемая полиномом Лежандра порядка , и обозначается , т.е. .

Полином Лежандра является лишь одним частным решением уравнения (5.129). Однако его оказывается достаточным для ряда задач, так как второе частное решение обращается в бесконечность при и , что противоречит определению физического поля. Основные свойства полиномов Лежандра мы обсудим позже, а теперь вернемся к уравнению (5.117).

7. Теперь, учитывая что , уравнение (5.117) следует записать в виде

. (5.130)

Непосредственной подстановкой можно легко убедиться, что этому уравнению удовлетворяют функции вида и , тогда общее решение уравнения (5.130) будет

. (5.131)

Анализ этого уравнения показывает, что в принципе возможны две ситуации:

1. в решении для первое слагаемое обращается в бесконечность при , т.е.

при , (5.132)

б) второе слагаемое в решении для обращается в бесконечность при , другими словами,

при . (5.133)

На основании (5.132) и (5.133) можно заключить, что в зависимости от того, входит ли в исследуемую область поля начало координат ( ) или бесконечно удаленная точка ( ), необходимо в решении положить или равными нулю.

8. Подводя итог, можно записать частное решение уравнения Лапласа в сферических координатах для поля, симметричного относительно оси , независящего от угла :

(5.134)

а) если рассматриваемая область поля включает начало координат, т.е. точку , то следует положить равным нулю, а решение записать

, (5.135)

б) если в рассматриваемой области поля нет начала координат, но есть точка, удаленная на бесконечность, т.е. , то и решение будет

(5.136)

9. Краткие сведения о полиномах Лежандра. Нужно найти решение дифференциального уравнения

.

Введем обозначение , тогда , . Поскольку , ,

.

Аналогичным образом, выражая через составляющие уравнения (5.129) , получим уравнение Лежандра, записанное в «классическом виде»:

. (5.137)

В теории дифференциальных уравнений строго доказывается, что это уравнение имеет конечные и непрерывные решения в заданном интервале

только в том случае, если является положительным целым числом, включая нуль. Решение уравнения Лежандра в виде степенного ряда, состоящего из конечного числа членов, или полином порядка , имеет вид

, (5.138)

где

. (5.139)

Определенная (5.138) и (5.139) функция носит название полинома Лежандра - го порядка и обозначается :

(5.140)

или

. (5.141)

Из соотношений (5.140) и (5.141) легко получить значение полиномов Лежандра первых четырех порядков

;

; (5.142)

;

или, возвращаясь к прежней переменной,

; ;

; . (5.143)

Для полиномов Лежандра в справочной литературе имеются графики, в которых по оси абсцисс отложен угол или в радианах, а по оси ординат – зависимость численного значения полиномов разных порядков от или .

Ряд полезных соотношений, вытекающих из основных свойств полиномов Лежандра:

1. . (5.144)

2. , для - нечетного. (5.145)

3. , для - четного. (5.146)

4. , для любого . (5.147)

5. Любая произвольная кусочно - гладкая функция в интервале от до может быть представлена в виде ряда

, (5.148)

где определяется формулой

. (5.149)

В качестве примера использования уравнения Лапласа в сферических координатах рассмотрим задачу о диэлектрическом шаре, внесенном в однородное электрическое поле.

Итак, дано: однородное электрическое поле создано в среде с , в эту среду вносится диэлектрический шар с радиусом и параметром материала .

Требуется провести анализ изменения поля после внесения в него диэлектрического шара в результате их взаимодействия.

Решение

1. Выберем систему координат так, чтобы координатный угол отсчитывался в плоскости, перпендикулярной внешнему полю (рис. 5.14).

При этом выборе системы координат потенциал исследуемого поля не будет зависеть от угла и частное решение уравнения Лапласа в сферических координатах можно записать в соответствии с (5.134):

.

Рис. 5. 14. Диэлектрический шар во внешнем, однородном поле

2. Анализ физических процессов. При внесении диэлектрического шара в однородное электрическое поле это поле, особенно вблизи сферы, исказится, перестанет быть однородным, т.е. равномерным. В точках же, удаленных от сферы, поле стремится к однородному параллельному полю. Характер искажения внешнего электрического поля зависит от размеров шара и соотношения между и . Действительно, под влиянием электрического поля диэлектрический шар поляризуется. Заряды, появившиеся на шаре, вследствие его поляризации, искажают равномерное (до внесения сферы) внешнее электрическое поле.

Сказанное можно пояснить рис. 5.15, на котором изображены линии вектора и эквипотенциальные линии для случая > . Таким образом, из физических соображений следует два важных вывода:

Рис. 5.15. Картина поля при внесении незаряженного диэлектрического шара в равномерное (до внесения) электрическое поле

а) в плоскости потенциал сферы должен быть равен 0;

б) при больших потенциал должен расти пропорционально , т.е. происходит прирост потенциала от напряженности равномерного поля на пути .

Последний вывод следует из расчета поля плоского конденсатора, которым можно смоделировать источник равномерного поля в рассматриваемой задаче.

+

+

+

+

d

Рис. 5.16. Поле плоского конденсатора

Итак, требуется рассчитать поле между двумя находящимися в однородной среде бесконечными параллельными пластинами и , имеющими соответственно потенциалы , (рис. 5.16). Расстояние между пластинами равно d. Выберем расположение координатной оси Z так, как это показано на рисунке. В рассматриваемой вспомогательной задаче поле зависит только от Z. Поэтому уравнение Лапласа имеет простейший вид

(5.150)

или

;

. (5.151)

Уравнение (5.151) должно удовлетворять граничным условиям:

U=0 при z=0,

U=U₀ при z=d. (5.152)

Для удовлетворения первому граничному условию необходимо положить C₂=0. Для удовлетворения второму граничному условию необходимо выбрать C₁=U₀ /d=E₀.

Общее решение для поля между обкладками A и B нужно составить так:

. (5.153)

Таким образом, действительно, в основной задаче потенциал должен расти на пути z с ростом r за счет напряженности равномерного (до внесения сферы) поля .

3. Для выполнения условия (а) необходимо в решении (5.134) положить n=1. Тогда

,

т. е. потенциал сферы в плоскости = /2 при n=1 становится равным 0.

При n=1 общее решение (5.134) можно записать

. (5.154)

Как видно из уравнения (5.154), при большом r автоматически выполняется условие (б), так как тогда

, (5.155)

что совпадает с решением вспомогательной задачи (5.154). Решение задачи для этой области пространства будем обозначать U₁(r,θ):

при r a. (5.156)

4. Для области исследуемого пространства внутри сферы r ≤ a потенциал должен оставаться конечным при r→0. Другими словами, рассматриваемая область включает начало координат, и для нее в решении нужно положить C₂=0. Таким образом, для внутренних областей решение следует искать в виде

при . (5.157)

5. Для того чтобы U(r,θ) и U₂(r,θ) были действительно решениями задачи для внешней и внутренней областей, необходимо удовлетворить граничным условиям на поверхности сферы r = a. Эти условия заключаются в непрерывности потенциала и нормальной составляющей вектора индукции электрического поля при переходе через поверхность диэлектрической среды. Математическая формулировка граничных условий запишется

(5.158)

6. Выпишем в компактной форме области исследуемого нами пространства и соответствующие значения потенциалов (решений) в них:

а) r ≤ a, ;

б) r ≥ a , ; (5.159)

в) r >> a, .

Для нахождения констант C₁, C₂, C₃ выполняем все действия, которые предписывают граничные условия (5.158). Первое граничное условие дает

(5.160)

Второе граничное условие при r = a дает

. (5.161)

В результате имеем систему двух уравнений (5.160) и (5.161) с тремя неизвестными

(5.162)

В системе уравнений (5.162) выразим C₂, C₃ через C₁. Из первого уравнения (5.162)

.

Из второго уравнения (5.162)

.

Приравнивая оба выражения для C₃, получим

;

; (5.163)

;

Зная C₂, выраженное через C₁, найдем C₃:

(5.164)

.

Уравнения (5.163) и (5.164) и C₁ образуют систему

(5.165)

7. Значения C₁, C₂ и C₃ из (5.165) подставляем в решение U(r,θ) и U₂(r,θ) из (5.159), получаем

при r ≥ a. (5.166)

при r ≤ a. (5.167)

8. Величина коэффициента C₁ и его физический смысл определяются из анализа поля в области r a. В этой области поле описывается потенциалом из (5.156), с одной стороны, и значением потенциала , полученным при решении вспомогательной задачи (5.153), с другой. Сравнивая (5.153) и (5.156), заключаем, что C₁ по своему физическому смыслу – напряженность внешнего электрического поля , в которое по условию задачи была внесена незаряженная диэлектрическая сфера.

Как известно, и U₁(r,θ) связаны между собой соотношением

. (5.168)

Или , где – единичный орт оси z. Отсюда приходим к заключению, что

. (5.169)

С учетом найденного значения C₁, решения (5.159) запишутся

а) r ≤ a, ,

б) r ≥ a, (5.170)

в) r a; .

9. Напряженность электрического поля внутри шара (r ≤ a) вдоль оси z получаем из соотношения

(5.171)

Напряженность поля направлена вдоль оси z и не зависит от координат точки. Это означает, что поле внутри шара однородное.

10. В области пространства при r ≥ a потенциал U(r,θ) можно представить как сумму потенциалов

, (5.172)

где , т. е. совпадает с полем в области пространства r ≥ a (5.170, уравнение «в»);

- дополнительный потенциал, для выяснения

физического смысла которого необходимо решить вторую частную задачу.

Адекватное описание поля в области пространства r ≥ a можно произвести и с помощью вектора , его составляющей по направлению оси z

. (5.173)

Таким образом, в этой области пространства поле определяется внешним полем , смысл которого будет установлен позже.

11. В области пространства при r a

, (5.174)

т.е. поле полностью определяется внешним полем , физически это означает, что на большом расстоянии картина поля не изменяется при внесении в него диэлектрической сферы.

12. Для выяснения физического смысла рассмотрим пару равных по величине и противоположных по знаку точечных зарядов, расположенных на малом расстоянии l друг от друга (рис. 5.17). Такая система зарядов получила название электрического диполя. Понятие о диполе играет важную роль в теории излучения электромагнитных волн и ряде других задач электродинамики. Поэтому расчет поля, создаваемого электрическим диполем, представляет практический интерес.

Р

Рис. 5.17. К расчету поля электрического диполя

анее мы получили, что поле точечного заряда рассчитывается по формуле

. (5.175)

Если поле создается совокупностью точечных зарядов, то

. (5.176)

Согласно (5.176), потенциал двух точечных зарядов

. (5.177)

Рис. 5.17. К расчету поля электрического

диполя

Так как расстояние между зарядами мало, т. е. справедливы неравенства , , то приближенно можно считать, что , .

С учетом этих приближений формула для (5.177) упрощается

. (5.178)

Диполь удобно характеризовать электрическим моментом , который направлен от отрицательного к положительному заряду, а по модулю равен . Поэтому равенство (5.178) можно записать

. (5.179)

Сравнивая (5.179) с выражением для U_доп,

.

Можно убедиться, что диэлектрический шар, помещенный в однородное поле, ведет себя как электрический диполь с моментом

,

. (5.180)

Таким образом, в пространстве r ≥ a поле является суперпозицией двух полей: внешнего и поля, создаваемого поляризованной сферой, которую можно рассматривать как электрический диполь с моментом, определяемым выражением (5.180).