Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка ТФП.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.04.2025

Размер:

10.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2510 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

5.2. Решение уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат

1. Уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат (r,φ,z):

. (5.59)

2. Ищем частное решение этого уравнения в виде произведения трёх функций

. (5.60)

3. Подставляем (5.60) в исходное уравнение (5.59):

. (5.61)

4. Обе части уравнения (5.61) делим на произведение :

. (5.62)

5. Равенство (5.62) может соблюдаться только в том случае, если

, , (5.63)

другими словами, для соблюдения равенства нулю левой части уравнения (5.62) необходимо положить

, , (5.64)

где k и m– произвольные постоянные числа. Выбор знака у и не носит принципиального значения. Выбрав знак таким образом, мы сразу предполагаем, что решение для Ф будет выражено в обычных тригонометрических функциях, а для Z – в гиперболических функциях. Уравнение для Z и Ф (5.64) – обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.

, . (5.65)

По аналогии с (5.35) и (5.36) решение для запишется

, (5.66)

а для по аналогии с (5.37) и (5.41) решение запишется так:

. (5.67)

6. Вернёмся к уравнению (5.62). С учётом принятых в (5.64) обозначений его можно записать так:

(5.68)

а) умножим обе части этого уравнения на R, получим

, (5.69)

б) в левой части уравнения (5.69) выполним дифференцирование по правилам дифференцирования произведения двух функций

Тогда уравнение (5.69) в результате будет иметь вид

(5.70)

Комментарии к уравнению (5.70):

Уравнение (5.70) является дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами, поэтому его решение не выражается через обычные элементарные функции, а приводит к так называемым специальным функциям – функциям Бесселя m- го порядка.
Смысл выражения «функция Бесселя m- го порядка» заключается в том, что для различных значений m решением уравнения будут являться различные функции, т.е. разные значения m определяют собой разные дифференциальные уравнения и, следовательно, различные по характеру решения.
Величина k при заданном значении m не меняет характера уравнения.
Уравнение (5.70) может быть легко приведено к «классическому» виду уравнения Бесселя, для этого

а) все члены уравнения (5.70) делим на :

;

б) введём новую независимую переменную , тогда

, , .

Составляющие уравнения (5.70) в новой переменной:

;

Классический вид уравнения Бесселя

, (5.71)

именно в таком виде оно обсуждается в специальных разделах курса высшей математики, приводится в справочной литературе;

в) таким образом, при решении уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат методом Фурье или методом разделения переменных с помощью подстановки мы определили , , а для нахождения необходимо решить уравнение Бесселя (5.70) или (5.71). Прежде чем выяснить, как это сделать, обсудим смысл постоянной m.

Постоянная величина m входит в уравнение Бесселя и определяет закон изменения поля вдоль радиуса r. Кроме того, входя в решение , m определяет зависимость потенциала от угла . Из уравнения (5.66): следует, что m может быть только целым числом. Действительно, если рассуждать от обратного и считать m дробным числом, то , а , что в таком случае свидетельствует о многозначной зависимости потенциала от угла , а это физически не реализуется, т.е. неверно. Итак, m – целое число.

7. Решение дифференциального уравнения Бесселя.

Для любого фиксированного m уравнение Бесселя является дифференциальным уравнением второго порядка. Как и всякое линейное дифференциальное уравнение, содержащее в качестве наивысшей производной вторую производную, это уравнение имеет два независимых частных решения.

Первое частное решение уравнения Бесселя называют функцией Бесселя m - го порядка или цилиндрической функцией первого рода. Эта функция обозначается .

Второе частное решение называют цилиндрической функцией m- го порядка второго рода или функцией Неймана. Её обозначают .

Общее решение уравнения Бесселя имеет вид

, (5.72)

где с₁ и с₂– произвольные постоянные, определяемые из граничных условий.

Функции Бесселя и Неймана имеют широкое применение в различных областях техники и, в частности, в радиотехнике, электронике, электротехнике. Эти функции табулированы, для них имеются графические зависимости численных значений функции для различных целых значений индексов m от аргумента x. Если известны x и m, то по графикам находятся числа, соответствующие и .

Для m=0, может быть вычислена по формуле

(5.73)

Для m=1, рассчитывается так:

(5.74)

Для произвольного m, рассчитывают по формуле

(5.75)

Функции Неймана любого целого порядка m можно представить через функции Бесселя:

. (5.76)

Ряд простейших свойств функций Бесселя и Неймана, которые полезно запомнить:

(5.77)

При решении задач анализа физических полей часто бывает необходимым знать значения корней Бесселевых функций, т.е. те значения x, которые обращают в нуль функцию. Корни обозначаются символом , где m – порядок функции Бесселя, n – номер корня. Корни функций Бесселя и Неймана в справочной литературе приведены в виде таблиц и графиков.

Практически важным свойством функции Бесселя является то, что любую функцию кусочно-гладкую на интервале от 0 до а можно представить в виде ряда Бесселевых функций

. (5.78)

Этот ряд называется рядом Фурье-Бесселя.

8. Таким образом, решая уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат, приходим к следующим частным решениям для функции Ф(φ), Z(z), R(r):

(5.79)

где x=kr.

Тогда частное решение в соответствии с основными идеями метода Фурье запишется

(5.80)

Рассмотрим конкретный пример, иллюстрирующий применение результатов решения уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат.

Дано: круглый металлический заземленный цилиндр с радиусом а, верхняя крышка цилиндра изолирована и имеет потенциал .

Требуется найти распределение потенциала внутри цилиндра (рис. 5.12).

Рис. 5.12. Круглый металлический заземленный цилиндр радиусом а

и высотой L

Решение

1. По типу граничных условий данная задача – типичная краевая задача с граничными условиями первого рода (задача Дирихле). Требуется найти решение уравнения Лапласа внутри цилиндра, на границе указанной области решение должно принять заданные значения U=0 и .

2. Очевидно, что граничные условия поставленной задачи будут иметь более простой вид в цилиндрической системе координат (рис. 5.12):

z=0, U=0,

r=a, U=0,

z=L,

3. Анализ симметрии задачи при выбранной системе координат показывает, что потенциал не зависит от угла φ, т.е. в решении уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат (5.79) функция Ф(φ) f(φ)=const, а это возможно только при m=0.

Действительно, тогда

Ф(φ)= . (5.81)

Таким образом, после учета симметрии задачи частное решение . Следовательно, в соответствии с (5.80) оно будет иметь вид

. (5.82)

Выражение (5.82) составлено уже с учетом m=0 и x=kr.

4. Искомый потенциал должен иметь конечное значение во всех точках внутри цилиндра, в том числе и на оси цилиндра, при r=0. Однако, как следует из (5.77), функция Неймана не остается конечной при нулевом значении аргумента. Поэтому из физических соображений конечности потенциала во всех точках исследуемого пространства необходимо в решении (5.82) принять . После этого этапа частное решение примет следующий вид:

. (5.83)

5. Дальнейшее определение входящих в решение констант связано с использованием граничных условий:

а) первое граничное условие z=0, U=0. Следовательно:

. (5.84)

Равенство (5.84) возможно при любом значении r, если . После удовлетворения первого условия частное решение примет вид

(5.85)

б) второе граничное условие r=a, U=0. Следовательно:

. (5.86)

Для выполнения этого условия при любом z необходимо, чтобы

. (5.87)

Из (5.87) следует, что произведение ak должно быть равным одному из корней бесселевой функции нулевого порядка.

Итак, где – это p-й корень (номер корня) функции Бесселя нулевого порядка от аргумента ak . Тогда

. (5.88)

Частное решение после нахождения k примет вид

, (5.89)

в) третье граничное условие z=L, U= .

. (5.90)

В этом уравнение сомножитель – это число, которое можно обозначить сonst, тогда предполагаемое равенство (5.90) можно переписать в виде

. (5.91)

Из выражения (5.91) видно, что это равенство не может быть справедливым ни при каком значение p, т.е. полученная функция потенциала не остается постоянной вдоль крышки цилиндра при z=L, как этого требует третье граничное условие, а изменяется по закону функции Бесселя.

Придавая p разные значения p=1,2,3…, можно построить распределения потенциала вдоль радиуса цилиндра, даваемое частным решением (5.89), и убедиться с помощью этого решения в невозможности достижения требуемого распределения потенциала при z=l (рис.5.13).

Рис. 5.13. Распределения потенциала вдоль радиуса цилиндра при z=l:

– требуемое распределение; пунктир – распределение при p=1,2,3

в соответствии с решением уравнения 5.89

На этом рисунке требуемым распределением потенциала при z=l является .

6. Поскольку ни при каких значениях p не удается удовлетворить третьему граничному условию, используем принцип суперпозиции – сумма частных решений будет также решением.

. (5.92)