ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение……………………………………………………………………… 5

1.1. Постановка задач по расчету потенциальных полей……………................ 5

1.2. Элементы теории уравнений с частными производными…………… 5

1.3. Дифференциальное уравнение………………………………………... 7

1.4. Типы уравнений с частными производными……………………….... 8

1.5. Решение уравнений с частными производными…………………… 10

2. Математическая аналогия между потенциальными полями…………. 11

3. Общие свойства уравнения Лапласа……………………………………... 13

3.1. Классификация уравнения……………………………………………. 13

3.2. Физический смысл оператора Лапласа.……………………………… 13

3.3. Особенности решения………………………………………………… 14

3.4. Граничные условия…………………………………………………… 14

3.5. Выбор системы координат при решении уравнений

Лапласа и Пуассона…………………………………………………… 16

3.6. Единственность решения уравнения Лапласа

Принцип композиции…………………………………………………. 20

3.7. Расчетные модели и основные принципы их

построения…………………………………………………………….. 20

4. Методы, наиболее часто применяемые на практике при решении

уравнений с частными производными…………………………………. 21

4.1. Классификация методов решения уравнений с частными

производными………………………………………………………… 21

4.2. Схема расчета потенциальных полей……………………………….. 23

5. Метод Фурье решения краевых задач

(метод разделения переменных)…………………………………………… 24

5.1. Решение уравнения Лапласа в прямоугольной системе

координат методом разделения переменных…………………..…… 24

5.2. Решение уравнения Лапласа в цилиндрической системе

координат……………………………………………………………… 31

5.3. Решение уравнения Лапласа в сферической системе

координат……………………………………………………………… 43

5.4. Краткая характеристика метода разделения переменных….…...…. 57

6. Метод конечных интегральных преобразований

(метод Г.А. Гринберга)……………………………………………………... 59

6.1. Принцип метода конечных интегральных преобразований…..…… 60

6.2. Собственные значения и собственные функции

краевой задачи……………………………………………………..…. 60

6.3. Простейший пример использования метода конечных

интегральных преобразований………………………………...…..… 63

7. Метод зеркальных изображений………………………………………..… 70

7.1. Принцип метода….………………………………………………….... 70

7.2. Общий случай расчета электростатического поля

вблизи плоской границы двух сред………………………………….. 73

7.3. Применение метода зеркальных изображений для расчета

магнитных полей, создаваемых токами, протекающими

вблизи ферромагнитных масс………………………….…………..… 76

8. Метод наложения…..………………………………………………..……… 78

9. Методы, основанные на применении теоремы Гаусса и

закона полного тока в интегральной форме………………..………..…. 81

9.1. Применение теоремы Гаусса…….………………………………..……….. 81

9.2. Применение закона полного тока…….………………………..……. 84

10. Метод функции Грина решения краевых задач для

уравнений эллиптического типа…………………………..……………. 85

10.1. Формулы Грина….………………………………………….………. 85

10.2. Применение аппарата δ - функций в электродинамике….……….. 86

10.3. Сущность метода функций Грина.....………………………………. 87

11. Метод интегральных уравнений……………..…………..………..……. 95

12. Решение уравнений с частными производными методом

конформных отображений………………………………………………. 102

12.1. Понятие функции комплексного переменного………….………. 103

12.2. Определение конформного отображения...………………….…… 104

13. Численное решение уравнений с частными производными….….… 107

13.1. Основные понятия метода сеток……………...………..………..… 108

13.2. Метод сеток для задачи Дирихле…………………………….…… 109

Библиографический список…………..………………..………..………..… 112

1. Введение

В учебном пособии рассмотрены основные методы расчета потенциальных физических полей, наиболее часто применяемых в неразрушающих методах контроля.

При теоретическом рассмотрении потенциальных полей различной физической природы учитывалось, что все они описываются дифференциальными уравнениями одного и того же вида. Это дает возможность использовать для анализа обобщенные уравнения, а результаты расчета для одного из полей непосредственно переносить на любое другое потенциальное поле путем простой замены величин, характеризующих рассчитанное поле, их аналогами другого поля. Рассмотренные методы составляют основу анализа непотенциальных полей.

Большинство физических явлений в таких областях, как электричество и магнетизм, оптика, теплопередача, акустика, динамика жидкости могут быть описаны с помощью уравнений с частными производными (УЧП).

С помощью этих уравнений физические явления описываются на языке пространственных и временных производных. Производные появляются в уравнениях, потому что они описывают важнейшие физические величины, такие как ток, поток, скорость, ускорение, сила трения и т. д. Именно по этой причине возникают УЧП, содержащие неизвестную функцию, которую необходимо определить.